【疑問】負の二項分布って、幾何分布を r 個足しただけ？無記憶性はどう示すん【統計検定1級】

負の二項分布の確率関数、本によって $k$ の範囲が0からだったり $r$ からだったりで混乱する

前提のおさらい。ベルヌーイ試行は確率 $p$ で成功する独立な試行で、$n$ 回の成功数が二項分布
幾何分布と負の二項分布は、回数を決めずに成功を待つ側から見たもの

＞＞1
数えるものが2流儀ある
(a) 成功するまでの試行回数（1以上）、(b) 成功するまでの失敗回数（0以上）
(b) は (a) から成功の分 $r$ を引いただけ。答案ではどっちで書くかを最初に宣言する

試行回数の流儀で幾何分布から

$E[X]=1/p$、$V[X]=(1-p)/p^2$。$p=0.2$ なら平均5回、分散20

＞＞4
無記憶性は生存確率から示す
$P(X>k)=(1-p{)}^k$（最初の $k$ 回が全部失敗）やから

$p=0.2$ なら $P(X>3)=0.512$、5回外れたあとにさらに3回外れる確率も $0.8^3=0.512$

＞＞5
逆に、無記憶なら幾何分布しかないってほんま？

＞＞6
正の整数値なら。$g(k)=P(X>k)$ とおくと、無記憶性は $g(m+k)=g(m)g(k)$
これを繰り返すと $g(k)=g(1{)}^k$ で、$g(1)=1-p$ とおけば幾何分布

＞＞1
負の二項（$r$ 回目の成功までの試行回数）は、最後の1回が成功で、その前の $k-1$ 回に成功が $r-1$ 回

$r=3,p=0.2$ で $P(Y=5)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)(0.2{)}^3(0.8{)}^2=6\times 0.00512\approx 0.0307$

＞＞8
成功と成功のあいだの待ち回数は、無記憶性からそれぞれ独立な幾何分布。だから $Y$ は幾何 $r$ 個の和
$E[Y]=r/p=15$、$V[Y]=r(1-p)/p^2=60$
モーメント母関数でも、幾何の $\frac{p{e}^t}{1-(1-p)e^t}$ を $r$ 乗すると負の二項のものになる

二項分布との関係もある
「3回目の成功が10回より後」は「10回で成功が2回以下」と同じやから
$P(Y>10)=P(Bin(10,0.2)\le 2)\approx 0.678$

＞＞8
でも実務で負の二項って、待ち回数よりカウントデータのモデルとして使われてるやん。ポアソンで分散が足りないときの

＞＞11
どっちも同じ分布。失敗回数の流儀なら平均 $r(1-p)/p=12$、分散 $r(1-p)/p^2=60$ で、分散が平均より大きい
ポアソンは平均＝分散やから、ばらつきが大きいデータに合わせたいときに使われる

＞＞12
ただ、カウントのモデルとして使うときは $r$ を整数に限らないことが多い。待ち回数の解釈はそこで使えなくなる

流儀を宣言する、幾何の和として見る、無記憶性は生存確率の比。これでどの本の書き方でも読み替えられそうやな