【疑問】ポアソン過程で、到着の数がポアソン分布、間隔が指数分布になるのはなんで？2つは同じことを言ってるん【統計検定1級】

1時間あたり平均3人が来る窓口で、到着の数と到着の間隔の分布を関係づけて説明せよ、って問題

前提のおさらいを2つ
独立な指数分布 $Ex(\lambda )$ の $k$ 個の和はガンマ分布 $Ga(k,\lambda )$
独立なポアソン $Po({\lambda }_1)$、$Po({\lambda }_2)$ の和は $Po({\lambda }_1+{\lambda }_2)$、和を与えると片方は二項分布

＞＞1
率 $\lambda$ のポアソン過程は、重ならない時間の到着数が独立で、長さ $t$ の区間の到着数 $N(t)$ が

$\lambda =3$（1時間あたり）なら、1時間にちょうど2人の確率は $e^{-3}{3}^2/2!\approx 0.224$

＞＞3
最初の到着までの時間 $T_1$ は、「$t$ までに1人も来ない」と同じ事象を使う

だから $T_1\sim Ex(\lambda )$。20分（$t=1/3$）だれも来ない確率は $e^{-1}\approx 0.368$

＞＞4
次の間隔も同じ。独立増分で、$T_1$ のあとの過程は最初からやり直しと同じやから、間隔は独立に $Ex(\lambda )$
$k$ 人目の到着時刻は $k$ 個の間隔の和で $Ga(k,\lambda )$。2人目が1時間以内に来る確率は $P(N(1)\ge 2)=1-e^{-3}(1+3)\approx 0.801$

＞＞5
数の言い方と時間の言い方は同じ事象の裏表やな。「$k$ 人目が $t$ までに来る」＝「$t$ までに $k$ 人以上来る」

条件付きの性質もある。1時間にちょうど1人来たと分かったら、その到着時刻は $[0,1]$ の一様分布
だからその1人が最初の20分に来た確率は $1/3$。$n$ 人なら、到着時刻は一様分布 $n$ 個の順序統計量と同じ

＞＞2
重ね合わせと分解も使える。1時間に3人と2人の独立な2つの流れを合わせると率5のポアソン過程。来た人が1つ目の流れの人である確率は $3/5=0.6$

＞＞3
実際の窓口で、こんなきれいに独立に来るとは思えん。昼どきに混むやろ

＞＞9
率が時刻で変わるなら、非一様ポアソン過程にする。$\lambda (t)$ を積分した $\int \lambda (s)ds$ が平均になる
団体で来るように、到着どうしが独立でないなら、ポアソン過程そのものが合わない。間隔の分布が指数か、分散が平均と等しいかをデータで確かめる

$N(t)\sim Po(\lambda t)$、$P(T_1>t)=P(N(t)=0)$ で間隔は指数、$k$ 人目はガンマ、条件付きなら一様。数と時間は同じ事象の裏表。これで説明できるな