【疑問】ランダムウォークの破産確率、差分方程式でどう解くん？1回の勝率が0.48だとどれくらい不利なん【統計検定1級】

所持金 $k$ から始めて、確率 $p$ で $+1$、$q=1-p$ で $-1$。$0$ か $N$ に着いたら終わり。$N$ に着く確率を求めよ、って問題

前提のおさらい。マルコフ連鎖は次の状態が今の状態だけで決まる。ここでは位置 $0,1,\dots ,N$ が状態で、$0$ と $N$ は一度入ったら出ない（吸収）

＞＞1
$N$ に着く確率を $u_k$ とする。最初の1歩で場合分けすると

全確率の公式を1歩目に使っただけの差分方程式

＞＞3
解き方。$u_k=p{u}_k+q{u}_k$ と書きかえて引くと、$p(u_{k+1}-u_k)=q(u_k-u_{k-1})$
差が公比 $r=q/p$ の等比数列になるから、足し上げて端の条件を使うと
$p\ne q$ なら $u_k=\frac{1-r^k}{1-r^N}$、$p=q=1/2$ なら $u_k=k/N$

数字で。$k=10$、$N=20$（倍にしたら勝ち）
$p=0.5$：$0.5$
$p=0.48$：$r=0.52/0.48$ で約0.310
$p=0.45$：約0.119。同じ $p=0.48$ でも $k=50$、$N=100$ にすると約0.018

＞＞5
1回あたりの不利は4%ポイントしかないのに、0.5から0.31まで落ちるん？

＞＞6
1回の差は小さくても、終わるまでに何十回も賭けるから積み重なる。$p=1/2$ のとき終わるまでの回数の期待値は $k(N-k)=100$ 回、$p=0.48$ でも約95回
規模を大きくするほど回数が増えて、不利が効く。$k=50,N=100$ で0.018まで落ちるのはそのため

＞＞2
$N$ がない（上限なしで続ける）なら、原点に戻る確率はどうなるん

＞＞8
対称（$p=1/2$）な1次元のランダムウォークは、確率1でいつか戻る。$2n$ 歩後に原点にいる確率は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)/4^n\approx 1/\sqrt{\pi n}$ で、$n=50$ で約0.080
$p=0.6$ なら戻る確率は $1-|p-q|=0.8$ で、2割の確率で二度と戻らない

＞＞9
確率1で戻るなら、対称なら損しても待てば取り返せるやん

＞＞10
戻る確率は1でも、戻るまでの時間の期待値は無限大。それに、所持金に下限があれば、先に0に着いて終わる確率は $1-k/N$ で、上限を大きくするほど1に近づく

1歩目で場合分けして差分方程式、差が等比数列、$u_k=\frac{1-r^k}{1-r^N}$、小さい不利も回数で効く。これで解けるな