【疑問】ブラウン運動ってランダムウォークの極限ってほんま？独立増分・正規増分を確かめたい【統計検定1級】

ブラウン運動の定義と、ランダムウォークとの関係を説明せよ、って問題

前提のおさらいを2つ
単純ランダムウォーク $S_n={\sum }_{i=1}^n{\xi }_i$（${\xi }_i=\pm 1$ が半々）は、$E[S_n]=0$、$V[S_n]=n$
中心極限定理：$S_n/\sqrt{n}\to N(0,1)$

＞＞1
時間を $n$ 等分して、1歩の大きさを $1/\sqrt{n}$ にする
$W_n(t)=S_{\lfloor nt\rfloor }/\sqrt{n}$ とすると、中心極限定理で $W_n(t)\to N(0,t)$
$n\to \infty$ の極限が標準ブラウン運動 $W(t)$

＞＞3
性質は3つ
$W(0)=0$、重ならない区間の増分は独立（独立増分）

経路は連続。ランダムウォークの独立な歩幅が、極限でも独立増分として残る

＞＞4
数字で。$P(W(1)>1)=1-\Phi (1)\approx 0.159$
$W(1)=0.5$ と分かっても、$W(2)-W(1)>1$ の確率は同じ0.159（独立増分）
共分散は $\mathrm{Cov}(W(s),W(t))=\min (s,t)$。$s=1/4,t=1$ なら $1/4$、相関は $\frac{1/4}{\sqrt{1/4\times 1}}=0.5$

＞＞5
共分散が $\min (s,t)$ になるのは、$W(t)=W(s)+(W(t)-W(s))$ で、2つ目が $W(s)$ と独立やから。$\mathrm{Cov}(W(s),W(t))=V[W(s)]=s$

反射原理という性質もある。$a>0$ に一度でも届く確率は
$P({\max }_{0\le s\le 1}W(s)\ge a)=2P(W(1)\ge a)$、$a=1$ なら約0.317
一度 $a$ に届いたあとは、上に行くのも下に行くのも対称やから、到達した経路の半分が最後に $a$ より上にいる

＞＞7
ランダムウォーク（$n=1000$）で2万本シミュレーションすると、$W(1)>1$ が約0.166、最大値が1以上が約0.311
離散の歩幅のぶんだけずれるけど、0.159と0.317にだいぶ近い。$n$ を増やせば近づく

＞＞4
連続やったら、微分もできるんちゃうの

＞＞9
どこでも微分できない。$\Delta t$ の間の増分の大きさは $\sqrt{\Delta t}$ 程度やから、傾き $\Delta W/\Delta t$ は $1/\sqrt{\Delta t}$ 程度で発散する
区間 $[0,1]$ を細かく分けて増分の2乗を足すと、分け方を細かくするほど1に近づく。普通のなめらかな関数なら0になるところ

歩幅 $1/\sqrt{n}$ のランダムウォークの極限、増分は独立で $N(0,t-s)$、共分散は $\min (s,t)$、連続だけど微分できない。これで説明できるな