【疑問】マルコフ連鎖の定常分布って、推移確率行列からどう求めるん？何回もかけると本当にそこに近づくん【統計検定1級】

推移確率行列から定常分布を求めて、$n$ ステップ後の分布がそこに近づくことを確かめよ、って問題

前提のおさらいを2つ
同時確率は $P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j\mid X=i)$、周辺は足し上げ ${\sum }_{i}P(X=i,Y=j)$
行列 $A$ の固有値 $\lambda$ と固有ベクトル $v$ は $Av=\lambda v$

＞＞1
状態が晴れ（1）と雨（2）で、次の日の確率が

今日の分布を行ベクトル ${\pi }^{(n)}$ にすると、周辺の足し上げそのままで ${\pi }^{(n+1)}={\pi }^{(n)}P$

＞＞3
定常分布は $\pi P=\pi$、${\pi }_1+{\pi }_2=1$ を解く
1列目：$0.9{\pi }_1+0.5{\pi }_2={\pi }_1$ から $0.1{\pi }_1=0.5{\pi }_2$
$\pi =(5/6,1/6)\approx (0.833,0.167)$

＞＞4
近づくのを確かめる。雨の日から始めて、$n$ 日後に晴れる確率は
$n=1$：0.5、$n=2$：0.7、$n=3$：0.78、$n=5$：約0.825、$n=10$：約0.833
$P$ の固有値は1と0.4。差は $0.4^n$ で縮む：${\pi }_1-P_{21}^n=\frac{5}{6}\times 0.4^n$

＞＞5
$P^{10}$ は2つの行がどっちも約 $(0.833,0.167)$。どこから始めても同じ分布に行く

＞＞6
それならどんな推移行列でも、何回もかければ定常分布に近づくんやろ

＞＞7
近づかない例がある。$P=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ は毎日入れかわるから、晴れから始めると晴れ・雨・晴れ…と振動する
定常分布 $(1/2,1/2)$ はあるけど、$P^n$ は収束しない。固有値に $-1$ があるから（周期2）

＞＞8
収束の条件は、どの状態からどの状態にも行ける（既約）ことと、決まった周期で戻るだけではない（非周期）こと。有限の状態でこの2つがそろえば、定常分布は1つで、どこから始めてもそこに近づく

＞＞9
MCMCで「十分回せば事後分布から引いたことになる」のも、この性質を使ってる。定常分布が目的の分布になるように推移を作る

${\pi }^{(n+1)}={\pi }^{(n)}P$、定常分布は $\pi P=\pi$、2番目の固有値の大きさで近づく速さが決まる、既約で非周期でなければ収束しない。これで書けるな