【疑問】電球3個のうち最初に切れるまでの時間、なんで平均の1/3になるん？【統計検定準1級】

寿命が平均1000時間の電球を3個同時につけたら、最初に1個切れるまでの平均は約333時間って書いてあった
1個ずつは平均1000時間やのに、なんでそんなに短いんや

＞＞1
それは順序統計量（データを小さい順に並べたときの $k$ 番目）の話
$n$ 個を小さい順に $X_{(1)}\le X_{(2)}\le \cdots \le X_{(n)}$ と並べる。最小値が $X_{(1)}$、最大値が $X_{(n)}$、真ん中が中央値

＞＞2
最小値の分布はどう出すん

＞＞3
「最小値が $x$ より大きい」は「全部が $x$ より大きい」と同じ。独立で同じ分布 $F$ なら

寿命が指数分布で $1-F(x)=e^{-\lambda x}$ なら、$\{e^{-\lambda x}{\}}^3=e^{-3\lambda x}$ で、比率が3倍の指数分布になる
だから平均は $1000/3\approx 333$ 時間

＞＞4
3個あれば、どれか1個はたまたま早く切れる、ってことか

＞＞5
そう。500時間で3個とも点いてる確率は $e^{-0.5\times 3}=e^{-1.5}\approx 0.22$ しかない

最大値、つまり全部切れるまでは？

＞＞7
「最大値が $x$ 以下」は「全部が $x$ 以下」やから

指数分布で平均を出すと $\frac{1}{\lambda }\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)=1000\times 1.833\approx 1833$ 時間

＞＞8
その $1+1/2+1/3$ はどこから来るん

＞＞9
1個目が切れるまでが平均 $1000/3$。指数分布は無記憶性があるから、残った2個は新品と同じで、次が切れるまで平均 $1000/2$。最後の1個が平均1000
足して $1000(1/3+1/2+1)\approx 1833$

＞＞10
それ指数分布やからできる技やろ。他の分布でも使えるん

＞＞11
無記憶性で足していく技は指数分布だけ。でも＞＞4と＞＞8の式はどの分布でも使える
サイコロ2個の大きいほうが3以下になる確率は $(3/6{)}^2=1/4$、大きいほうが6になる確率は $1-(5/6{)}^2=11/36$

0から1の一様分布やと、$k$ 番目の平均はどうなるん

＞＞13
きれいな形になる

5個なら最小値の平均が $1/6$、最大値が $5/6$。5個の点が、0から1を6等分した位置に平均的に並ぶ

＞＞14
$k$ 番目の密度はどう書くん

＞＞15
$x$ より下に $k-1$ 個、$x$ のところに1個、上に $n-k$ 個、の並べ方を数える

一様分布なら $F(x)=x$ で、これはベータ分布の形になる

これ、どこで使うん。試験のためだけちゃうの

＞＞17
部品が1個でも壊れたら止まる機械（直列）は最小値、全部壊れるまで動く機械（並列）は最大値の分布で寿命が決まる
最大の雨量や最高気温みたいに「いちばん大きい値」が問題になる場面もそう

＞＞18
それに、一様分布の範囲を推定するときに最大値を使う話もあったな

＞＞19
あった。0から $\theta$ の一様分布の最大値は、平均が $n\theta /(n+1)$ で $\theta$ より少し小さい
5個なら $\theta$ の5/6が平均。だから $(n+1)/n$ 倍して偏りを消すことがある

最小値は「全部が上」、最大値は「全部が下」で、$\{1-F{\}}^n$ と $F^n$。指数分布の最小値は比率が $n$ 倍。一様分布の $k$ 番目は平均 $k/(n+1)$。333時間の理由が分かったわ