【疑問】aX+bY の平均と分散はすぐ出るのに、分布そのものを聞かれると手が止まる。畳み込みの使いどころ【統計検定1級】

$aX+bY$ の平均と分散は出せるけど、「分布を求めよ」になると何をすればいいか分からん

前提のおさらいを2つ
2変数の変数変換は、補助変数を置いてヤコビアンをかけ、補助変数を積分で消す
モーメント母関数が一致すれば同じ分布で、独立な和は $M_{X+Y}=M_X{M}_Y$

平均と分散から。共分散があっても

$X$ が平均50・標準偏差10、$Y$ が平均60・標準偏差8、相関0.5なら、$Z=0.4X+0.6Y$ は
平均 $20+36=56$、分散 $16+23.04+2\times 0.24\times 40=58.24$、標準偏差 $7.63$

＞＞3
差 $X-Y$ なら分散は $100+64-80=84$。相関が正やと差のばらつきは小さくなる

＞＞1
分布そのものは、独立な和なら畳み込み

離散なら $P(X+Y=z)={\sum }_{k}P(X=k)P(Y=z-k)$

＞＞5
変数変換の $U=X+Y$、$V=X$（$|J|=1$）で $v$ を消した式と同じもの
補助変数のところを $x$ と書いただけ

＞＞5
離散で確かめる。$X$ が $Bin(2,0.5)$ で $0,1,2$ に $0.25,0.5,0.25$、$Y$ が確率0.5で1のベルヌーイ
$P(Z=1)=P(X=0)P(Y=1)+P(X=1)P(Y=0)=0.125+0.25=0.375$
$Bin(3,0.5)$ の $P(Z=1)=3/8$ と一致

正規やポアソンならモーメント母関数のかけ算で終わるやん。畳み込みの積分なんかやる場面ある？

＞＞8
名前のある分布にならないときがそう
$X$ が平均1の指数分布、$Y\sim U(0,1)$ で独立なら、$M(t)=\frac{1}{1-t}\cdot \frac{e^t-1}{t}$ は知ってる分布の形じゃない
形を見て当てられないから、積分するしかない

＞＞9
$f_Y(z-x)$ が正になるのは $0<z-x<1$、つまり $z-1<x<z$。$x>0$ と合わせて
$0<z<1$：$f(z)={\int }_0^z{e}^{-x}dx=1-e^{-z}$
$z>1$：$f(z)={\int }_{z-1}^z{e}^{-x}dx=(e-1)e^{-z}$

＞＞10
検算：${\int }_0^1(1-e^{-z})dz=e^{-1}\approx 0.368$、${\int }_1^{\infty }(e-1)e^{-z}dz=1-e^{-1}\approx 0.632$、合計1
前半がそのまま $P(Z\le 1)\approx 0.368$

＞＞10
畳み込みは区間の場合分けで間違えやすいから、$z$ を固定して $x$ が動ける範囲を数直線に描くのが確実

＞＞8
逆に、名前が分かってるなら積分せずに母関数で済ませたほうが答案は短くて読みやすい
畳み込みは最後の手段くらいでええと思う

平均と分散だけなら線形性、分布は名前が当たりそうなら母関数、当たらなければ畳み込み。聞かれてるものと分布の形で道具を選ぶんやな