【疑問】ベータ分布って、確率の確率みたいなやつ？何に使うんかピンとこん【統計検定準1級】

ベータ分布って、0から1の間の値をとる分布やろ
確率そのものに分布をつける、みたいな説明を見たけど、何に使うんかピンとこん

＞＞1
形のおさらいから。パラメータ $a>0$、$b>0$ のベータ分布の密度は

$B(a,b)$ は面積を1にするための定数（ベータ関数）。平均は $a/(a+b)$

＞＞2
$a$ と $b$ で形はどう変わるん

＞＞3
$a=b=1$ なら密度がずっと1で、0から1の一様分布そのもの
$a=b=2$ なら真ん中が高い山で、分散は0.05（一様分布の $1/12\approx 0.083$ より小さい）
$a=2$、$b=5$ なら左に寄った山で、平均は $2/7\approx 0.29$

＞＞4
で、どこで出てくるん

＞＞5
1つは順序統計量。0から1の一様分布から $n$ 個とった $k$ 番目の値は、$a=k$、$b=n-k+1$ のベータ分布に従う
5個の最大値なら $a=5$、$b=1$ で、平均は $5/6$

＞＞6
もう1つは？

＞＞7
割合 $p$ についての「見込み」を表すのに使う（ベイズ推定）
新しい広告をクリックする割合 $p$ が、最初はまったく見当がつかないとして、一様分布（$a=b=1$）から始める

＞＞8
そこにデータが来たら？

＞＞9
10人中7人がクリックしたら、見込みはベータ分布の $a$ に成功数、$b$ に失敗数を足すだけで更新できる

平均は $8/12\approx 0.667$。$p>0.5$ である確率は約0.89、95%が入る範囲は約0.39〜約0.89

＞＞10
なんで足すだけで済むん

＞＞11
ベイズの定理で、更新後は「元の見込み × データの起こりやすさ」に比例する
元が $p^{a-1}(1-p{)}^{b-1}$、10人中7人の二項分布が $p^7(1-p{)}^3$ に比例するから、掛けると $p^{a+7-1}(1-p{)}^{b+3-1}$ で、またベータ分布の形になる
掛けても同じ形の分布に戻る組み合わせを共役事前分布と呼ぶ

＞＞12
でも最初の見込みを一様分布にするか別のにするかで、答えが変わるやろ。主観で決めてええんか

＞＞13
変わる。過去の広告で「だいたい半分くらい」と思って $\mathrm{Beta}(10,10)$ から始めると、10人中7人のあとは $\mathrm{Beta}(17,13)$ で平均は約0.567
一様分布から始めた0.667とはかなり違う。データが少ないうちは、最初の見込みが効く

＞＞14
それやと結論を好きに動かせるやん

＞＞15
だから最初の見込みは理由と一緒に書く。それにデータが増えれば差は縮む
100人中70人なら、一様分布からで平均約0.696、$\mathrm{Beta}(10,10)$ からで約0.667。10人のときの約0.10の差が約0.03まで縮む

分散の式は？

＞＞17

$\mathrm{Beta}(8,4)$ なら $32/(144\times 13)\approx 0.0171$、標準偏差は約0.13
$a+b$ が大きいほど分散が小さくなる。$a+b$ は「何人分のデータを見たか」の目安と読める

0から1の分布で、$a=b=1$ が一様分布。一様分布の順序統計量に出てくる。割合の見込みは成功数と失敗数を足して更新。最初の見込みはデータが増えると効かなくなる。使いどころが分かったわ