【疑問】一様分布って「全部同じ確率」なだけやろ？何に使うん？【統計検定2級】

一様分布って、どの値も同じくらい出るってだけやろ
わざわざ名前つけて勉強する意味あるんか

＞＞1
2種類あるからまずそこから
とびとびの値（1, 2, 3, … みたいに数えられる値）が同じ確率で出るのが離散一様分布
ある範囲のどこでも同じ起きやすさなのが連続一様分布

＞＞2
連続のほうの例は？

＞＞3
待ち合わせの相手が、0分から30分の間のどこかで、どの時点も同じ起きやすさで遅れてくるとする
範囲を $a$ から $b$ として、平均は真ん中

平均15分の遅刻

＞＞4
20分以上遅れる確率は？

＞＞5
範囲の長さの割合で出る

連続一様分布は「長さの比」で確率が出るから、計算はいちばん楽

ばらつきは？

＞＞7
分散（平均からのずれの2乗の平均）は

標準偏差はその平方根で約8.66分

＞＞8
12ってどこから出てくるんや

＞＞9
0から1の一様分布で計算すると、2乗の平均が $1/3$、平均の2乗が $1/4$

範囲を $b-a$ 倍に伸ばすと分散は $(b-a{)}^2$ 倍になる、ってだけ

離散のほうも同じ式でええの？

＞＞11
あかん。1から10の整数が同じ確率で出るくじなら、平均は5.5で同じやけど
分散は $(n^2-1)/12$ で、$n=10$ なら

連続の式に1と10を入れた $81/12=6.75$ とはずれる。離散と連続で式が違う

＞＞12
で、結局何に使うん

＞＞13
一番の出番はシミュレーション
コンピュータの乱数は、まず0から1の一様乱数を作って、それを変形して他の分布にする
例えば一様乱数 $U$ から

と変形すると指数分布（待ち時間の分布）の乱数になる。$U=0.5$、$\lambda =0.5$ なら $X=\log 2/0.5\approx 1.39$

＞＞14
いや、その用途やと一様分布は道具であって、分布として勉強する意味は薄くないか

＞＞15
道具やからこそ性質を知っとく意味がある
例えば一様乱数を2つ足しても一様にはならん。0から1の一様分布を2つ足すと、真ん中の1が一番出やすい三角形の形になる
和が0.5以下になる確率は $0.5^2/2=0.125$ で、一様なら0.25のはずが半分

＞＞16
「どれも同じ確率」のものを足したら、同じ確率じゃなくなるんか

＞＞17
そう。サイコロ2個の和が7で一番出やすいのと同じ理屈
「ランダム＝一様」と思い込むと、足したり平均したりした後の結果を読み違える

平均は真ん中、分散は $(b-a{)}^2/12$、確率は長さの比。連続と離散で分散の式が違う。これでいけそうやな