【疑問】確率収束と分布収束、どっちも「近づく」やのに何が違うん？チェビシェフの不等式の使いどころ【統計検定1級】

確率収束と分布収束の違いを説明せよ、って問題で、どっちも「$n$ を大きくすると近づく」としか書けんかった

前提のおさらい。平均 $\mu =E[X]$ と分散 ${\sigma }^2=E[(X-\mu {)}^2]$ は、1次の原点モーメントと2次の中心モーメント
チェビシェフの不等式に要るのはこの2つだけ

先に不等式から。$X\ge 0$ ならマルコフの不等式

指示関数で $aI(X\ge a)\le X$ が成り立つから、期待値をとるだけ。平均3なら $P(X\ge 10)\le 0.3$

＞＞3
$(X-\mu {)}^2$ にマルコフを使うとチェビシェフの不等式

$k=2$ なら $0.25$ 以下。正規分布の実際の値は $0.0455$、平均1の指数分布なら $P(X\ge 3)=e^{-3}\approx 0.050$

＞＞4
実際より5倍もゆるい上限なんか、使い道あるん

＞＞5
どんな分布でも平均と分散だけで成り立つのが強み。しかも、この上限はちょうど達成する分布がある
$-2,0,2$ を確率 $0.125,0.75,0.125$ でとる分布は、平均0・分散1で $P(|X|\ge 2)=0.25$
これ以上きつい上限は、分布を知らないと作れない

＞＞1
定義を並べると違いがはっきりする
確率収束：どんな $\epsilon >0$ でも $P(|X_n-X|>\epsilon )\to 0$
分布収束：$F$ が連続な点 $x$ で $F_{X_n}(x)\to F_X(x)$
確率収束は値そのものが近づく話、分布収束は分布の形が近づく話

＞＞7
分布収束するのに確率収束しない例って、具体的にある？

＞＞8
$X\sim N(0,1)$、どの $n$ でも $X_n=-X$ とする。$X_n$ の分布は $X$ と同じやから分布収束はする
でも $|X_n-X|=2|X|$ で、$P(2|X|>1)\approx 0.617$ のまま減らない

＞＞9
逆向きは成り立つ。確率収束すれば分布収束する。極限が定数 $c$ のときだけは、分布収束から確率収束も言える

＞＞7
「連続な点で」って条件、要るん？

＞＞11
$X_n=1/n$（定数）は0に近づくから、0に分布収束してほしい
でも $F_{X_n}(0)=P(1/n\le 0)=0$ はずっと0で、極限の $F(0)=1$ にならない
$x=0$ は極限の分布関数が跳ぶ点やから除く、とすれば問題なくなる

分布収束の実用的な例も1つ。$U(0,1)$ が $n$ 個の最大値を $M_n$ とすると
$P(n(1-M_n)>t)=(1-t/n{)}^n\to e^{-t}$ で、平均1の指数分布に分布収束する
$n=100,t=1$ なら $0.99^{100}\approx 0.366$、極限は $e^{-1}\approx 0.368$

確率収束は $|X_n-X|$ の確率、分布収束は $F_{X_n}$ の値。何が近づいてるかを式で書けば区別できるな