【疑問】Y=X² の密度を出したら、全部積分して1にならんかった。単調じゃない変数変換【統計検定1級】

$X\sim N(0,1)$ で $Y=X^2$ の密度を、$x=\sqrt{y}$ と置いて公式に入れた
できた密度を $0$ から $\infty$ まで積分したら $1/2$ になった

前提のおさらい。分布関数 $F(x)=P(X\le x)$ を微分すると密度になる
変数変換も、まず $Y$ の分布関数を $X$ の確率で書いて、それを微分するのが基本

単調なときの公式から。$y=g(x)$ が単調で、逆関数を $x=g^{-1}(y)$ とすると

絶対値は、減少関数のときに符号を正に戻すため

＞＞3
$X\sim U(0,1)$、$Y=-2\log X$ なら $x=e^{-y/2}$、$|dx/dy|=\frac{1}{2}{e}^{-y/2}$ で
$f_Y(y)=\frac{1}{2}{e}^{-y/2}$（$y>0$）、平均2の指数分布
確かめると $P(Y>2)=P(X<e^{-1})=e^{-1}\approx 0.368$

＞＞1
$y=x^2$ は $x<0$ と $x>0$ の2か所から同じ $y$ が出てくる。片方しか数えてないから半分になった
分布関数から出すと、$y>0$ で

＞＞5
微分すると

自由度1のカイ二乗分布の密度
$P(Y\le 1)=P(|X|\le 1)\approx 0.683$

一般には、同じ $y$ になる $x$ を全部足す

＞＞7
枝の数が $y$ によって変わる例もある
$X\sim U(-1,2)$、$Y=X^2$ なら、$0<y<1$ では $x=\pm \sqrt{y}$ の2本、$1<y<4$ では $x=\sqrt{y}$ の1本だけ
$0<y<1$：$f_Y=2\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{2\sqrt{y}}=\frac{1}{3\sqrt{y}}$
$1<y<4$：$f_Y=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2\sqrt{y}}=\frac{1}{6\sqrt{y}}$

＞＞8
検算すると ${\int }_0^1\frac{dy}{3\sqrt{y}}=\frac{2}{3}$、${\int }_1^4\frac{dy}{6\sqrt{y}}=\frac{1}{3}$ で、合計1
$P(|X|<1)=2/3$ とも合ってる

＞＞7
公式を覚えるより、毎回分布関数から出したほうが間違いにくいやろ。範囲も勝手に正しくなる

＞＞10
分布関数から出すのは確実やけど、2変数になると積分が重くなる。単調な1変数なら公式のほうが速い
迷ったら分布関数、慣れた形なら公式、で使い分ければいい

＞＞11
どっちでやっても、最後に「$y$ の範囲」と「全体の積分が1」を書いておけば、片方の枝を落としたミスは見つかる

1次式は単調の特別な場合。$Y=aX+b$ なら $f_Y(y)=f_X((y-b)/a)/|a|$
$X\sim U(0,1)$、$Y=3X+2$ なら、$(2,5)$ で高さ $1/3$ の一様分布