【疑問】正規分布のモーメント母関数、平方完成で出すって言われても手が動かん【統計検定1級】

正規分布のモーメント母関数 $\exp (\mu t+{\sigma }^2{t}^2/2)$、答えは覚えてるけど導出を書けと言われると止まる

前提のおさらいを2つ
$\Gamma (1/2)=\sqrt{\pi }$
モーメント母関数が0の近くで一致すれば同じ分布で、独立な和ではかけ算になる

まず密度の定数から。${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2/2}dx$ は、対称性で2倍して $x^2/2=s$ と置くと $dx=ds/\sqrt{2s}$ で

だから標準正規の密度は $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-z^2/2}$

＞＞1
標準正規 $Z$ で平方完成する
$tz-\frac{z^2}{2}=-\frac{(z-t{)}^2}{2}+\frac{t^2}{2}$ やから

残った積分は平均 $t$ の正規分布の密度の積分で1

＞＞4
$X=\mu +\sigma Z$ なら $E[e^{tX}]=e^{\mu t}E[e^{\sigma tZ}]=\exp (\mu t+{\sigma }^2{t}^2/2)$

＞＞4
展開すると高次のモーメントもすぐ出る
$e^{t^2/2}=1+\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{8}+\cdots$ で、$t^4$ の係数 $\frac{E[Z^4]}{4!}$ が $\frac{1}{8}$ やから $E[Z^4]=3$
尖度が3になる理由

標準化の数字の例。$X\sim N(50,10^2)$ なら $P(X>65)=P(Z>1.5)\approx 0.0668$

＞＞5
線形結合は母関数のかけ算で決まる
独立な $X\sim N(50,10^2)$、$Y\sim N(60,8^2)$ なら、$2X-Y$ の母関数は $M_X(2t)M_Y(-t)=\exp (40t+464t^2/2)$
だから $2X-Y\sim N(40,464)$。標準偏差 $21.54$ で、$P(2X-Y>0)=\Phi (1.857)\approx 0.968$

＞＞8
独立じゃなくても、正規分布どうしの和は正規分布やろ

＞＞9
それは成り立たない。2つが同時に正規（2変量正規）なら成り立つけど、それぞれが正規なだけでは足りない
$Z\sim N(0,1)$ と、それと独立に確率1/2ずつ $\pm 1$ をとる $S$ を用意して $Y=SZ$ とすると、$Y$ も $N(0,1)$
でも $Z+Y=Z(1+S)$ は確率1/2でちょうど0になる。正規分布ではない

＞＞10
しかも $\mathrm{Cov}(Z,Y)=E[S]E[Z^2]=0$ で無相関。無相関でも独立ではない例にもなってる

定数は $\Gamma (1/2)$、母関数は平方完成、線形結合は母関数のかけ算で、独立か2変量正規の仮定を書く。この4つを押さえておけばよさそうやな