【疑問】正規分布って、なんであんなにどこでも出てくるん？【統計検定2級】

統計の本、どのページにも正規分布が出てくる
なんでそんなに特別扱いなんや

＞＞1
形のおさらいから
平均 $\mu$（ミュー）を中心に左右対称な釣り鐘形で、中心の位置を決めるのが平均、幅を決めるのが標準偏差 $\sigma$（シグマ、ばらつきの目安）
この2つが決まれば形が1つに決まる。記号では $N(\mu ,{\sigma }^2)$ と書く

＞＞2
幅が変わると、山の高さも変わるんか

＞＞3
変わる。山のてっぺんの高さ（確率密度、その値の付近の起きやすさの濃さ）は

$\sigma =1$ なら約0.399、$\sigma =2$ なら約0.199
幅が2倍になると高さは半分。面積は全体で1に保たれるから

で、なんでどこにでも出てくるんや

＞＞5
理由はいくつかある
1つめは、小さな要因がたくさん足し合わさって決まる量は、正規分布に近くなりやすいこと（中心極限定理）
身長や測定誤差みたいに、原因が1つに決まらん量がそうなる

＞＞6
2つめは？

＞＞7
正規分布どうしは足しても正規分布のまま、ってこと
部品Aの長さが平均50mm、標準偏差0.3mm、部品Bが平均30mm、標準偏差0.4mmで、独立につなぐと
長さの合計は平均80mm、分散は足し算で $0.3^2+0.4^2=0.25$、標準偏差は

合計もそのまま正規分布として計算できる

＞＞8
標準偏差は 0.3 + 0.4 = 0.7 にはならんのやな

＞＞9
ならん。足せるのは分散のほう
合計が80.8mmを超える確率は、$(80.8-80)/0.5=1.6$ やから

約5.5%

差やったら？

＞＞11
Aの長さからBの長さを引いた差も、分散は足し算で0.25、標準偏差0.5
差をとってもばらつきは減らん

＞＞12
単位を変えたら？ 摂氏を華氏に直すとか

＞＞13
1次式で変換しても正規分布のまま
華氏は摂氏の1.8倍に32を足したものやから、平均20℃、標準偏差2℃なら

平均68°F、標準偏差3.6°Fの正規分布。足した32は標準偏差に効かん

＞＞14
じゃあデータは全部正規分布と思って計算してええんか

＞＞15
それはアカン。年収や待ち時間みたいに、0より下がなくて右に長く伸びる量は左右対称にならん
マイナスがありえん量に正規分布を当てると、平均から離れたところで変な確率が出る
年収みたいな量は、対数をとると正規分布に近くなることが多い（対数正規分布）

＞＞16
いや、平均がマイナスから十分離れてたら、実用上は正規分布でええやろ

＞＞17
形が左右対称に近いならな。マイナスがないかどうかより、ヒストグラムで偏りを見るのが先

＞＞18
ヒストグラムで形を見る、正規なら足し算・1次変換がそのままできる。覚えとくわ