【疑問】「AとBは独立」って「関係ない」って意味ちゃうの？排反とどう違うん【統計検定2級】

26レスカテゴリ：統計・確率

1: 名無しさん

問題文に毎回「独立とする」って書いてあるけど、要は「関係ない」って意味やろ
なんでそんなに大事そうに書くんや

2: 名無しさん

＞＞1
定義のおさらいから。事象 $A$ と $B$ が独立とは

P (A \cap B) = P (A) P (B)

「両方起きる確率」が「それぞれの確率の掛け算」になること。気持ちやなくて、この等式が成り立つかどうかで決まる

3: 名無しさん

＞＞2
サイコロ2個の話ならわかる。1個のサイコロの中で独立とかあるんか

4: 名無しさん

＞＞3
ある。サイコロ1個で、 $A$ を「偶数」、 $B$ を「4以下」とする
両方起きるのは2と4で $P (A \cap B) = 2/6 = 1/3$

P (A) P (B) = \frac{1}{2} \times \frac{4}{6} = \frac{1}{3}

一致するから独立。同じサイコロ1個の話でも独立になる

5: 名無しさん

＞＞4
じゃあ $B$ を「3以下」に変えたら？

6: 名無しさん

＞＞5
両方起きるのは2だけで $1/6$ 。掛け算は $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ でずれるから、独立ではない

7: 名無しさん

＞＞6
条件付き確率で見たほうがわかりやすいと思う

P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}

「4以下」なら $(1/3) / (1/2) = 2/3$ で、偶数と知る前の $4/6 = 2/3$ と同じ
「3以下」なら $(1/6) / (1/2) = 1/3$ で、知る前の $1/2$ から下がる
独立は「 $A$ が起きたと知っても $B$ の確率が変わらない」ってこと

8: 名無しさん

排反（同時に起きない）と独立って同じやろ
同時に起きないんやから、お互い関係ないやん

9: 名無しさん

＞＞8
逆。排反は $P (A \cap B) = 0$
$A$ も $B$ も確率が0より大きいなら $P (A) P (B) > 0$ やから、排反なら独立にはならん
サイコロの「偶数」と「奇数」なら、両方起きる確率は0、掛け算は $1/4$
偶数と知ったら奇数の確率は0に落ちる。むしろ強く関係してる

10: 名無しさん

＞＞9
いや、日常の言葉で「関係ない」って言うときは、排反のほうがしっくりくるけどな

11: 名無しさん

＞＞10
そこに引っ張られるのが一番危ない
統計で「独立」と書いてあったら、日常語のイメージは捨てて「掛け算が成り立つか」だけを見る

12: 名無しさん

確率変数 $X$ と $Y$ の独立はどうなるん

13: 名無しさん

＞＞12
とりうる値のすべての組 $(x, y)$ で

P (X = x, Y = y) = P (X = x) P (Y = y)

が成り立つこと。1組でも崩れたら独立ではない

14: 名無しさん

＞＞13
具体例ほしい

15: 名無しさん

＞＞14
赤玉2個と白玉1個の袋から2回取り出す。 $X$ は1回目が赤なら1、 $Y$ は2回目が赤なら1
戻してから引く（復元）なら $P (X = 1, Y = 1) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$ で独立
戻さずに引く（非復元）なら

P (X = 1, Y = 1) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}

一方 $P (X = 1) P (Y = 1) = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$ でずれるから、独立ではない

16: 名無しさん

＞＞15
待って、戻さんときも $P (Y = 1)$ は $2/3$ なんか

17: 名無しさん

＞＞16
そう。 $\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times 1 = \frac{2}{3}$ で、1回目と同じ
1個ずつの確率が同じでも、組で見ると掛け算が崩れる。1個ずつの確率だけ見て独立かどうかは判定できん

18: 名無しさん

独立やと、計算で何がうれしいん

19: 名無しさん

＞＞18
積の期待値と和の分散が分解できる

E [X Y] = E [X] E [Y], V [X + Y] = V [X] + V [Y]

サイコロ2個なら $E [X Y] = 3. 5^{2} = 12.25$ 、1個の分散が $35/12$ やから和の分散は $35/6 \approx 5.83$

20: 名無しさん

＞＞19
逆に $E [X Y] = E [X] E [Y]$ が成り立ってたら、独立って言える？

21: 名無しさん

＞＞20
言えん。それは共分散が0（無相関）ってとこまで
$X$ が $- 1, 0, 1$ を確率 $1/3$ ずつとって、 $Y = X^{2}$ とする
$E [X Y] = E [X^{3}] = 0$ 、 $E [X] = 0$ やから等式は成り立つ
でも $P (X = 0, Y = 0) = 1/3$ に対して $P (X = 0) P (Y = 0) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$ 。 $Y$ は $X$ で完全に決まってるのに、等式だけは成り立ってしまう

22: 名無しさん

標本の問題でいつも出てくる「 $X_{1}, \dots, X_{n}$ は独立に同じ分布に従う」も同じ独立？

23: 名無しさん

＞＞22
同じ。1個ずつのデータが互いに影響しあわず、同じ分布から出てくるという仮定
標本平均の分散が $σ^{2} / n$ になるのは、＞＞19の和の分散の分解を使ってるから
$σ = 10$ 、 $n = 25$ なら分散は $100/25 = 4$ 、標準誤差は2

24: 名無しさん

＞＞23
でも現実のデータってそんなに独立か？同じクラスの生徒とか、毎日続けて測った気温とか、似た値が続くやろ

25: 名無しさん

＞＞24
そこは本当に気をつけるところ。正の相関があると、平均のばらつきは $σ^{2} / n$ より大きくなる
2個の平均で、相関係数が0.5、 $σ = 10$ なら

V [\frac{X _{1} + X _{2}}{2}] = \frac{100 + 100 + 2 \times 0.5 \times 100}{4} = 75

独立なら50のはずが75。独立を仮定して計算すると、ばらつきを小さく見積もってしまう

26: 名無しさん

独立は「掛け算が成り立つこと」で、排反とは別物、むしろ排反なら独立にならん。無相関よりも強い条件。データの独立は仮定やから、本当に成り立つかは疑ってかかる。これで整理できた

管理人のひとこと

事象の独立は $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ が成り立つこと。言い換えると $P (B ∣ A) = P (B)$ （知っても確率が変わらない）。サイコロ1個の「偶数」と「4以下」は独立、「偶数」と「3以下」は独立でない。
排反（ $P (A \cap B) = 0$ ）は独立とは別物。どちらの確率も正なら、排反な事象は独立にならない。
確率変数の独立は、すべての値の組で掛け算が成り立つこと。赤2白1の袋から戻さずに2回引くと、2回目が赤の確率は $2/3$ のままでも独立ではない（ $1/3 \neq = 4/9$ ）。
独立なら $E [X Y] = E [X] E [Y]$ 、 $V [X + Y] = V [X] + V [Y]$ 。逆は成り立たず、 $E [X Y] = E [X] E [Y]$ は無相関まで（ $Y = X^{2}$ の例）。
標本平均の分散 $σ^{2} / n$ は独立が前提。正の相関があると実際のばらつきはもっと大きい（2個・相関0.5で50→75）。

【疑問】「AとBは独立」って「関係ない」って意味ちゃうの？排反とどう違うん【統計検定2級】

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