【疑問】どんな連続分布でも F(X) は一様分布になる、ってほんま？証明はどう書くん【統計検定1級】

$X$ が連続分布なら、自分の分布関数に入れた $F(X)$ は $U(0,1)$ に従う、って書いてあった
分布が何でもいいってのが信じられん

前提のおさらい。変換した変数 $Y=g(X)$ の分布は、まず分布関数 $P(Y\le y)$ を $X$ の確率で書いて出す
単調な変換なら $\{g(X)\le y\}=\{X\le g^{-1}(y)\}$ と書き直せる

＞＞1
$F$ が連続で狭義単調増加とする。$0<u<1$ で

これが一様分布 $U(0,1)$ の分布関数

＞＞3
平均1の指数分布で確かめると、$U=1-e^{-X}$
$P(U\le 0.3)=P(X\le -\log 0.7)=1-e^{\log 0.7}=0.3$

＞＞3
$F$ が平らなところ（密度が0の区間）があったら逆関数がないやん

＞＞5
一般化した逆関数 $F^{-1}(u)=\inf \{x:F(x)\ge u\}$ を使えば同じ証明が通る
平らな区間には確率がないから、そこで何が起きても $F(X)$ の分布は変わらない

逆向きが乱数づくりの土台になる
$U\sim U(0,1)$ なら $X=F^{-1}(U)$ は分布関数 $F$ に従う。$P(F^{-1}(U)\le x)=P(U\le F(x))=F(x)$
平均2の指数分布なら $X=-2\log (1-U)$。$U=0.5$ を入れると $2\log 2\approx 1.386$ で、ちょうど中央値

＞＞7
ロジスティック分布なら $F^{-1}(u)=\log \frac{u}{1-u}$ で、$u=0.9$ なら $\log 9\approx 2.197$
逆関数が式で書ける分布は、一様乱数1個から1個作れる

＞＞1
離散やと成り立たんやろ

＞＞9
成り立たない。確率0.3で1のベルヌーイなら、$F(X)$ は $X=0$ のとき $0.7$、$X=1$ のとき $1$ の2つの値しかとらない
「連続」の仮定は答案に必ず書く

＞＞10
でも離散でも、段の中で一様乱数を足してならせば一様にできるはず。検定の分野ではそういう作り方もある
仮定が要るのは確かやけど、離散で全くダメというわけでもない

使いどころは乱数だけじゃない。検定統計量が連続分布なら、帰無仮説のもとでP値は一様分布に従う
P値が0.05以下になる確率がちょうど0.05になるのは、この性質から

$F(X)$ が一様、$F^{-1}(U)$ が $F$ に従う。どっちも分布関数を逆にたどるだけで、証明は1行やな