【疑問】数学75点と英語80点、どっちが「すごい」かってどう比べるん？【統計検定2級】

数学75点、英語80点
点数だけ見たら英語のほうが上やけど、平均もばらつきも違うのに、そのまま比べてええんか

＞＞1
比べるなら「平均からどれだけ離れてるか」を、ばらつきの単位で測る
これが標準化で、出てきた値を z値 と呼ぶ

$\mu$（ミュー）は平均、$\sigma$（シグマ）は標準偏差（データが平均からどれくらい散らばってるかの目安）

＞＞2
数字入れてみて

＞＞3
数学が平均60点、標準偏差10点なら

英語が平均70点、標準偏差5点なら

平均からの離れ方は英語のほうが大きい

＞＞4
結局英語のほうが上で、点数で比べたのと変わらんやん

＞＞5
この例ではたまたま同じ。英語の平均が75点やったら

で、数学の1.5より下になる。点数の順番と z値 の順番は一致するとは限らん

z値で何がうれしいんや。離れ方が分かるだけ？

＞＞7
点数の分布が正規分布（平均を中心にした左右対称の釣り鐘形）に近いなら、z値から「上位何%か」が出る
標準化すると平均0、標準偏差1の標準正規分布にそろうから、表は1枚で済む
$z=1.5$ なら下から約93.3%、つまり上位約6.7%

＞＞8
よく聞く「68・95・99.7」ってのは？

＞＞9
正規分布なら、平均から ±1標準偏差に約68%、±2標準偏差に約95%、±3標準偏差に約99.7% が入る
さっきの数学なら、50点〜70点に約68%、40点〜80点に約95%
95%ちょうどになるのは、正確には ±1.96標準偏差

逆に「上位10%に入るには何点要る？」もできるん？

＞＞11
できる。上位10%の境目は $z=1.28$ くらい
z値の式を点数について解くと

数学に当てはめると

約73点で上位10%

偏差値もこれやろ

＞＞13
せや。偏差値は z値を「平均50、標準偏差10」に直しただけ

数学の75点なら

＞＞14
じゃあ偏差値65なら上位6.7%って、どのテストでも言えるん？

＞＞15
言えん。それは点数の分布が正規分布に近いときだけ
簡単すぎて満点近くに人が固まってるテストやと、形がゆがんでて%への読みかえがずれる

＞＞16
そう言い出したら、z値を使う意味がなくなるやん

＞＞17
そうはならん。z値自体は、分布の形に関係なく「標準偏差何個ぶん離れてるか」として使える
正規分布の表で%に直すところだけ、形の確認が要る

z値を出す、正規分布っぽいか確かめる、表で%に直す。この順番やな