【疑問】密度関数から中央値や上側5%点を出せって言われたら、どこを解けばええん【統計検定1級】

密度が与えられて「中央値・最頻値・上側5%点を求めよ」って問題、平均と同じように積分すればええと思ってた

前提のおさらい。分布関数は $F(x)=P(X\le x)$ で、連続なら $F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$
分位点は確率の側から $x$ を逆に求める話になる

＞＞1
中央値と分位点は、積分した結果の $F$ についての方程式を解く

中央値は $p=0.5$、上側5%点は $1-F(x)=0.05$、つまり $p=0.95$

＞＞3
指数分布 $F(x)=1-e^{-\lambda x}$ なら、$1-e^{-\lambda x}=p$ を解いて $x_p=-\log (1-p)/\lambda$
平均2（$\lambda =0.5$）なら中央値は $2\log 2\approx 1.386$、上側5%点は $2\log 20\approx 5.99$

＞＞4
中央値が平均の2より小さいんやな。右に長い分布やからか

最頻値は密度が最大になる点で、こっちは微分
形状3・尺度1のガンマ分布 $f(x)=\frac{1}{2}{x}^2{e}^{-x}$ なら、$\frac{d}{dx}\log f=\frac{2}{x}-1=0$ で $x=2$
平均は3

＞＞6
そのガンマ分布の中央値は？

＞＞7
$F(x)=1-e^{-x}(1+x+x^2/2)$ になるけど、$F(x)=0.5$ はきれいに解けない
数値で解くと約 $2.674$。最頻値2 < 中央値2.67 < 平均3 の順

＞＞8
解析的に出せって言われたら、出題はきれいに解ける分布にしてくるはず
指数分布、ワイブル分布、パレート分布、ロジスティック分布みたいに $F$ の逆関数が書けるもの

左に長い例もやっておく。$f(x)=2x$（$0<x<1$）なら $F(x)=x^2$
中央値 $1/\sqrt{2}\approx 0.707$、最頻値は端の1、平均は ${\int }_0^{1}2x^{2}dx=2/3\approx 0.667$
今度は平均 < 中央値 < 最頻値

離散の中央値はどうなるん。サイコロなら3.5やろ

＞＞11
サイコロは $F(3)=0.5$ ちょうどで、3から4のあいだはどこでも $P(X\le x)\ge 0.5$ と $P(X\ge x)\ge 0.5$ を満たす
中央値は1つに決まらない

＞＞12
1級では分位点を $x_p=\inf \{x:F(x)\ge p\}$ と定義することが多くて、それならサイコロの中央値は3
3.5は区間の真ん中をとる別の決め方。どっちを使うかを書いておけばいい

変動係数 $CV=\sigma /\mu$ も密度から出せる
指数分布は $\sigma =\mu$ やから、$\lambda$ によらず $CV=1$
形状 $k$ のガンマ分布は $CV=1/\sqrt{k}$ で、$k=4$ なら $0.5$

＞＞14
単位によらず比べられるのはええけど、気温の摂氏みたいに0が人の決めた点だと、平均が0に近いだけで値が跳ね上がる
正の値しかとらない量に限って使う、と書いておく

平均と分散は積分、分位点は $F$ の方程式、最頻値は密度の微分。聞かれてるものごとに道具が違うんやな