【疑問】確率関数・密度関数・累積分布関数、結局どれが本体なん？混合型ってどう扱うん【統計検定1級】

確率関数、密度関数、累積分布関数
どれが本体で、どう行き来すればいいのかごちゃごちゃになってる

前提のおさらい。累積分布関数（分布関数、CDF）は

離散でも連続でも、どんな確率変数にも定義できる

＞＞1
本体はCDFと思っとくのがいちばん楽
性質は、非減少、右連続、$F(-\infty )=0$、$F(\infty )=1$ の4つ
区間の確率はいつも $P(a<X\le b)=F(b)-F(a)$

離散のときはどう見えるん

＞＞4
サイコロなら階段の形。$F(3.5)=P(X\le 3.5)=3/6=1/2$
確率関数は段の高さで、$p(x)=F(x)-F(x-)$（$F(x-)$ は左からの極限）
$p(3)=F(3)-F(3-)=3/6-2/6=1/6$

連続のときは、密度がCDFの傾き

$F$ に段がないから、1点の確率は $P(X=x)=0$

＞＞3
右連続って、なんでわざわざ言うん

＞＞7
$F(x)=P(X\le x)$ と「以下」で定義してるから、段のあるところでは段の上の値をとる
サイコロで $F(3)=1/2$、$x$ を3の左から近づけると $2/6$、右から近づけると $1/2$。$x=3$ の値は右からの極限と同じ

＞＞1
混合型もCDFならまとめて書ける
信号待ちで、30%は待ち時間0（青で通過）、残りの70%は平均2分の指数分布で待つとする

＞＞9
それ、密度はあるん？

＞＞10
全体としての密度はない。$x=0$ で高さ0.3の段があるから、$F$ を微分しても0.3が消えてしまう
点0に確率0.3、$x>0$ の部分に密度 $0.7\times \frac{1}{2}{e}^{-x/2}$、と分けて書く
確認：$0.3+{\int }_0^{\infty }0.35e^{-x/2}dx=0.3+0.7=1$

期待値も分けて出せる

積分は ${\int }_0^{\infty }x{e}^{-x/2}dx=\Gamma (2)/(1/2{)}^2=4$

＞＞12
CDFだけで出す方法もある。$X\ge 0$ なら

密度があるかどうかを気にせず使えるから、混合型ではこっちが楽

＞＞13
その式はなんで成り立つん

＞＞14
$X={\int }_0^{\infty }1(X>x)dx$（$X$ までの長さ）と書いて、両辺の期待値をとって積分と入れ替える
$E[1(X>x)]=P(X>x)=1-F(x)$ やから、そのまま出る

＞＞9
区間の確率も試した
$P(X\le 2)=0.3+0.7(1-e^{-1})\approx 0.742$
$P(1<X\le 3)=F(3)-F(1)=0.7(e^{-0.5}-e^{-1.5})\approx 0.268$

混合型って、信号待ち以外にどこで出てくるん

＞＞17
保険で、損害が一定額以下なら支払いが0になる契約の支払額。0に確率の塊がある
観測を途中で打ち切ったデータも同じで、打ち切った値に確率の塊ができる