【疑問】モーメント法って、平均と分散を合わせるだけ？最尤推定と答えが違うのはどっちが正しいん【統計検定1級】

ガンマ分布の形状と率をモーメント法で推定せよ、って問題
最尤推定で出した値と違ったけど、どっちかが間違ってるん？

前提のおさらいを2つ
原点モーメント $E[X^k]$ と、分散 $E[X^2]-E[X{]}^2$
ガンマ分布 $Ga(a,\lambda )$ は平均 $a/\lambda$、分散 $a/{\lambda }^2$

＞＞1
モーメント法は、母数で書いた理論のモーメントを、標本のモーメントと等しいと置いて解く

$s^2$ は $n$ で割った標本分散。母数が2個やから式も2本

＞＞3
データ $2.1,3.5,1.2,4.8,2.9,3.3,1.9,5.1,2.6,3.6$ なら
$\bar{x}=3.1$、$s^2=1.368$ で、$\hat{a}=9.61/1.368\approx 7.02$、$\hat{\lambda }=3.1/1.368\approx 2.27$

＞＞4
同じデータで最尤推定をやると
$\log a-\psi (a)=\log \bar{x}-\overline{\log x}$（$\psi$ はディガンマ関数）を数値で解いて $\hat{a}\approx 6.39$、$\hat{\lambda }=\hat{a}/\bar{x}\approx 2.06$
違う値になる

＞＞1
どっちも正しい。推定量の作り方が違うから値が違うだけで、どっちも $n\to \infty$ で真の値に近づく
違うのは精度で、ガンマ分布では最尤のほうが分散が小さい

＞＞6
それなら最初から最尤だけでええやん。モーメント法を習う意味ある？

＞＞7
ガンマの最尤は式で解けなくて、数値計算が要る。モーメント法は手計算で1行
しかも最尤の数値計算の初期値に使える。7.02から始めれば、6.39にすぐ収束する

＞＞7
でもモーメント法は変な答えを出すことがある
$U(0,\theta )$ なら平均 $\theta /2$ を合わせて $\hat{\theta }=2\bar{x}$
データ $0.2,0.3,0.4,3.0$ なら $2\bar{x}=1.95$ で、観測した $3.0$ より小さい。$\theta$ がそんな値のはずがない

＞＞9
最尤なら最大値の3.0で、少なくともデータとは矛盾しない。手軽さと引きかえの弱点やな

どのモーメントを使うかで答えが変わることもあるん？

＞＞11
変わる。ふつうは低い次数から必要な数だけ使う。高い次数のモーメントは標本でばらつきが大きいから
平均1の指数分布なら平均を使って $\hat{\lambda }=1/\bar{x}$ で、これは最尤と一致する

理論のモーメントを母数で書く、標本と等しいと置く、母数の数だけ式を立てて解く。手順は単純で、出た値がありえる範囲かだけ確かめればいいんやな