【疑問】E[E[X|Y]]=E[X] は当たり前に見えるのに、全分散の公式になると急に分からん【統計検定1級】

$V[X]=E[V[X\mid Y]]+V[E[X\mid Y]]$ の右辺、どっちが何を表してるのか分からん
丸暗記しても使いどころで迷う

前提のおさらい。条件付き分布は、同時分布を条件の側の周辺で割ったもの

条件付き期待値 $E[X\mid Y=y]$ は、その条件付き分布で計算した平均

＞＞2
$E[X\mid Y=y]$ は数やけど、$E[X\mid Y]$ は確率変数って書いてあった。どういうこと？

＞＞3
$y$ に何を入れるかで値が決まる関数 $g(y)=E[X\mid Y=y]$ に、確率変数 $Y$ を入れたものが $E[X\mid Y]=g(Y)$
$Y$ がランダムやから、$g(Y)$ もランダム

＞＞4
繰り返し期待値の式は、離散なら和を入れ替えるだけで出る

数字で。工場に機械A（確率0.6で使う）と機械B（確率0.4）があって、1日の不良品の数 $X$ は
A のとき平均2のポアソン分布、B のとき平均5のポアソン分布
$E[X]=0.6\times 2+0.4\times 5=3.2$

＞＞1
全分散の公式は、$E[X^2]$ に繰り返し期待値を使うと出る
$E[X^2]=E[E[X^2\mid Y]]=E[V[X\mid Y]+E[X\mid Y{]}^2]$
ここから $E[X{]}^2=(E[E[X\mid Y]]{)}^2$ を引くと

＞＞6
工場の例に入れると、ポアソンは平均と分散が等しいから
$E[V[X\mid Y]]=0.6\times 2+0.4\times 5=3.2$
$E[X\mid Y]$ は確率0.6で2、確率0.4で5をとるから、分散は $0.6\times 1.2^2+0.4\times 1.8^2=2.16$
合計 $V[X]=3.2+2.16=5.36$

＞＞8
直接も出せる。$E[X^2]=0.6\times (2+4)+0.4\times (5+25)=15.6$ で、$15.6-3.2^2=5.36$
一致した

＞＞8
結局、分散分析の「群内＋群間」と同じ話やろ

＞＞10
形は同じ。第1項が群内（機械を決めたあとに残るばらつき）、第2項が群間（機械ごとの平均の違い）
ただ分散分析の平方和は標本で計算する値で、こっちは分布そのものの式。自由度で割る話は出てこない

＞＞10
同じと言い切るのは危ない気がする。こっちは $Y$ が連続でも使えるし、群の数が決まってない場面でも使う

使いどころの定番は、人数も金額もランダムな合計
来店客数 $N$ が平均4のポアソン分布、1人の購入額 $X_i$ が平均3・分散2（単位は千円）で、互いに独立とする
合計 $S=X_1+\cdots +X_N$ は $N$ で条件付けると $E[S\mid N]=3N$、$V[S\mid N]=2N$

＞＞13

人数のばらつきから来る36のほうが、1人あたりのばらつきから来る8より大きい

条件付けで分けるときは、何で条件付けたら中が簡単になるかを最初に決めるのが要るんやな。答案では「$Y$ で条件付けると」と1行書いてから使えばいい