【疑問】ガンマ分布って、指数分布を足したら出てくる以外に何なん？【統計検定準1級】

指数分布を足したらガンマ分布になる、ってのは聞いた
でもガンマ分布そのものがどんな形で、何に使うのかがよくわからん

＞＞1
前提のおさらいから。指数分布は、平均 $1/\lambda$ の待ち時間の分布（$\lambda$ は単位時間あたり平均何回起きるか）
窓口に客が1分あたり平均2人（$\lambda =2$）来るなら、次の客までの時間は平均0.5分
客が来る間隔が独立に同じ指数分布に従うとき、その $n$ 個の和、つまり「$n$ 人目が来るまでの時間」がガンマ分布になる

＞＞2
式は？

＞＞3
形状 $\alpha$、比率 $\lambda$ のガンマ分布の密度は

平均は $\alpha /\lambda$、分散は $\alpha /{\lambda }^2$
$\lambda =2$ で3人目までの時間なら、平均 $3/2=1.5$ 分、分散 $3/4=0.75$、標準偏差約0.87分

＞＞4
$\Gamma (\alpha )$ って何

＞＞5
ガンマ関数。密度の面積を1にするための数で、整数なら $\Gamma (n)=(n-1)!$
$\Gamma (3)=2!=2$ やから、$\alpha =3$、$\lambda =2$ の密度は

整数でないところでも定義されてて、$\Gamma (1/2)=\sqrt{\pi }\approx 1.77$。$\alpha =1$ なら指数分布そのもの

1分以内に3人目が来る確率は？その密度を積分するんか、しんどそう

＞＞7
ポアソン分布に言い換えると楽
「3人目が1分以内に来る」は「1分間に3人以上来る」と同じ。1分間に来る人数は平均2のポアソン分布やから

＞＞8
ほんまに積分と一致するんか？言い換えでごまかしてない？

＞＞9
一致する。${\int }_0^{1}4x^2{e}^{-2x}dx$ を部分積分で2回ばらすと、ちょうどポアソン確率の和の形が出てくる
数値で積分しても約0.3233で、$1-5e^{-2}$ と同じ

$\alpha$ が整数じゃないときは？2.5人目とかないやろ

＞＞11
待ち時間としては読めんけど、分布としては普通に使う
0より大きくて右に裾が伸びたデータ（保険の支払額、1日の雨量など）に当てはめる形の候補
偏り具合を表す歪度は $2/\sqrt{\alpha }$ で、$\alpha =1$ で2、$\alpha =4$ で1、$\alpha =100$ で0.2。$\alpha$ が大きいほど左右対称に近づく

カイ二乗分布と関係あるって聞いた

＞＞13
自由度 $k$ のカイ二乗分布は、$\alpha =k/2$、$\lambda =1/2$ のガンマ分布
平均は $\frac{k/2}{1/2}=k$、分散は $\frac{k/2}{1/4}=2k$ で、カイ二乗分布の平均 $k$、分散 $2k$ と合う
自由度2のカイ二乗分布は、$\lambda =1/2$ の指数分布（平均2）と同じもの

形の違うガンマ分布どうしを足したらどうなるん

＞＞15
比率 $\lambda$ が同じで独立なら、形状が足し算になる（再生性）

2人目までの時間と、そこから3人分の時間を足したら5人目までの時間、って読める
$\lambda$ が違うと、足してもガンマ分布にはならない

教科書によって密度が $x^{\alpha -1}{e}^{-x/\beta }$ って書いてあるんやけど、別の分布？

＞＞17
同じ分布。$\beta =1/\lambda$ の「尺度」で書いてるだけで、平均は $\alpha \beta$、分散は $\alpha {\beta }^2$
$\lambda =2$ なら $\beta =0.5$ で、平均 $3\times 0.5=1.5$ と一致
計算ソフトによっては尺度で指定する（Python の scipy など）。比率の2を尺度のところに入れると平均が $3\times 2=6$ になって、4倍ずれる

＞＞18
ややこしいな。全部比率で統一したらええのに、なんで2通りあるねん

＞＞19
使う場面で自然なほうが違うから
待ち時間なら「1分に何人」の比率が自然、金額や雨量なら「どれくらいの大きさの単位か」の尺度が自然
問題文や資料の式が $e^{-\lambda x}$ か $e^{-x/\beta }$ かを見て判断するしかない

データからパラメータを推定するにはどうするん

＞＞21
手で出すならモーメント法（標本の平均と分散を、分布の平均と分散に等しいとおく方法）
$\alpha /\lambda =$ 平均、$\alpha /{\lambda }^2=$ 分散 を解くと $\hat{\lambda }=$ 平均÷分散、$\hat{\alpha }=$ 平均²÷分散
標本平均6、標本分散12なら $\hat{\lambda }=6/12=0.5$、$\hat{\alpha }=36/12=3$
最尤推定だと $\alpha$ は式で解けず、数値計算になる

指数分布の和で $n$ 人目までの待ち時間、確率はポアソンに言い換え、カイ二乗も仲間、比率か尺度かは必ず確認。これで使えそうや