【疑問】吸収のあるマルコフ連鎖で、どっちに吸収されるかの確率と、吸収までの平均ステップ数はどう出すん【統計検定1級】

11レスカテゴリ：統計・確率

1: 名無しさん

会員の状態が毎回の推移で変わる連鎖で、「優良会員」に吸収される確率と、吸収までの平均回数を求めよ、って問題

2: 名無しさん

前提のおさらい。マルコフ連鎖は次の状態が今の状態だけで決まり、推移確率行列 $P$ で分布が $π^{(n + 1)} = π^{(n)} P$ と進む
一度入ったら出ない状態を吸収状態と呼ぶ

3: 名無しさん

＞＞1
状態は新規（1）、継続（2）、解約（A）、優良（B）。A と B は吸収。推移確率は
1 から：1 へ0.2、2 へ0.5、A へ0.2、B へ0.1
2 から：1 へ0.1、2 へ0.5、A へ0.1、B へ0.3

4: 名無しさん

＞＞3
最終的に B に行く確率を $h_{i}$ とする。1回目の推移で場合分けすると

h_{1} = 0.1 + 0.2 h_{1} + 0.5 h_{2}, h_{2} = 0.3 + 0.1 h_{1} + 0.5 h_{2}

2本目から $h_{2} = 0.6 + 0.2 h_{1}$ 。1本目に入れて $0.7 h_{1} = 0.4$

5: 名無しさん

＞＞4
$h_{1} = 4/7 \approx 0.571$ 、 $h_{2} = 5/7 \approx 0.714$ 。新規から始めると約57%が優良会員になる

6: 名無しさん

平均回数も同じやり方。吸収までの回数の期待値を $m_{i}$ とすると、1回進んでから残りを足す
$m_{1} = 1 + 0.2 m_{1} + 0.5 m_{2}$ 、 $m_{2} = 1 + 0.1 m_{1} + 0.5 m_{2}$
$m_{2} = 2 + 0.2 m_{1}$ を入れて $0.7 m_{1} = 2$ 。 $m_{1} = 20/7 \approx 2.86$ 、 $m_{2} = 18/7 \approx 2.57$

7: 名無しさん

＞＞6
行列でまとめると、吸収されない状態どうしの推移 $Q$ と、吸収への推移 $R$ に分けて、 $N = (I - Q)^{- 1}$
$N = (1.43 0.29 1.43 2.29)$ 。 $N_{ij}$ は $i$ から始めて $j$ を訪れる回数の期待値
$N R$ の B の列が $(0.571, 0.714)$ 、 $N$ の行和が $(2.86, 2.57)$ 。連立方程式と一致

8: 名無しさん

＞＞2
定常分布を求めたら、長い目で見てどこに行くか分かるんちゃうの

9: 名無しさん

＞＞8
吸収状態が2つあると、A に全部いる分布も B に全部いる分布も $π P = π$ を満たす。定常分布が1つに決まらん
しかも定常分布はどこから始めたかを忘れる性質やけど、ここで知りたいのは始めた状態ごとの違い（0.571 と 0.714）。だから1回目で場合分けする方法を使う

10: 名無しさん

＞＞4
前に出てきた破産確率の差分方程式も、これと同じ「1歩目で場合分け」やな。 $p = 1/2$ で $0$ と $N$ の間を動くとき平均回数が $k (N - k)$ になるのも、 $m_{k} = 1 + \frac{1}{2} m_{k + 1} + \frac{1}{2} m_{k - 1}$ を解いた結果

11: 名無しさん

吸収確率は $h_{i} = \sum_{j} P_{ij} h_{j}$ に端の値、平均回数は $m_{i} = 1 + \sum_{j} Q_{ij} m_{j}$ 、行列なら $N = (I - Q)^{- 1}$ で $N R$ と $N 1$ 。これで出せるな

管理人のひとこと

吸収確率：1回目で場合分けして $h_{i} = \sum_{j} P_{ij} h_{j}$ （吸収状態で0か1）。平均回数： $m_{i} = 1 + \sum_{j} Q_{ij} m_{j}$ 。
例：新規から優良に行く確率 $4/7 \approx 0.571$ 、継続からは $5/7 \approx 0.714$ 。平均回数は $20/7 \approx 2.86$ と $18/7 \approx 2.57$ 。
行列では $N = (I - Q)^{- 1}$ 、吸収確率 $N R$ 、平均回数 $N 1$ 。吸収状態が2つあると定常分布は1つに決まらない。

【疑問】吸収のあるマルコフ連鎖で、どっちに吸収されるかの確率と、吸収までの平均ステップ数はどう出すん【統計検定1級】

管理人のひとこと

関連スレ