【疑問】AR(2) の自己相関、ユール・ウォーカー方程式でどう解くん？逆に自己相関から係数を推定するのも【統計検定1級】

AR(2) $X_t=0.5X_{t-1}+0.3X_{t-2}+{\epsilon }_t$ の自己相関をラグ3まで求めよ。また自己相関から係数を推定する式を示せ、って問題

前提のおさらい。AR(1) $X_t=\varphi X_{t-1}+{\epsilon }_t$ は、両辺に $X_{t-k}$ をかけて期待値をとると $\gamma (k)=\varphi \gamma (k-1)$ で、$\rho (k)={\varphi }^k$
${\epsilon }_t$ は過去の $X$ と無相関

＞＞1
AR(2) でも同じことをする。$k\ge 1$ で $X_{t-k}$ をかけて期待値をとり、$\gamma (0)$ で割ると

これがユール・ウォーカー方程式。$k=1$ では $\rho (-1)=\rho (1)$ を使って $\rho (1)={\varphi }_1+{\varphi }_2\rho (1)$

数字で。${\varphi }_1=0.5$、${\varphi }_2=0.3$
$\rho (1)={\varphi }_1/(1-{\varphi }_2)=0.5/0.7\approx 0.714$
$\rho (2)=0.5\times 0.714+0.3=0.657$、$\rho (3)=0.5\times 0.657+0.3\times 0.714\approx 0.543$
分散は $\gamma (0)={\sigma }^2/(1-{\varphi }_1\rho (1)-{\varphi }_2\rho (2))\approx 2.24{\sigma }^2$

＞＞3
逆向き。$k=1,2$ の式を並べると係数の連立方程式になる

標本自己相関を入れて解くのがユール・ウォーカー推定。重回帰の正規方程式と同じ形

＞＞5
さっきの $0.714$ と $0.657$ を入れると、ちゃんと $(0.5,0.3)$ に戻る
${\varphi }_2=\frac{\rho (2)-\rho (1{)}^2}{1-\rho (1{)}^2}=\frac{0.657-0.510}{1-0.510}\approx 0.30$
この ${\varphi }_2$ はラグ2の偏自己相関そのもの。AR(2) なら偏自己相関はラグ3から0

定常の条件。特性方程式 $1-{\varphi }_{1}z-{\varphi }_2{z}^2=0$ の根がどれも単位円の外
この例は $1-0.5z-0.3z^2=0$ で、$z\approx 1.17$ と $-2.84$。どっちも絶対値が1より大きいから定常

＞＞7
根なんか解かんでも、${\varphi }_1+{\varphi }_2<1$ を確かめたら十分やろ。AR(1) の $\varphi <1$ と同じ話やん

＞＞8
足りん。条件は3つそろって初めて定常：${\varphi }_1+{\varphi }_2<1$、${\varphi }_2-{\varphi }_1<1$、$|{\varphi }_2|<1$
$\varphi =(-0.5,0.8)$ なら ${\varphi }_1+{\varphi }_2=0.3<1$ やけど、${\varphi }_2-{\varphi }_1=1.3$。根は $1.47$ と $-0.85$ で、片方が単位円の中に入って定常でない

＞＞7
根が複素数（${\varphi }_1^2+4{\varphi }_2<0$）やと、自己相関は振動しながら減る。景気みたいな周期っぽい動きはこれで表せる

$X_{t-k}$ をかけて期待値で $\rho (k)={\varphi }_1\rho (k-1)+{\varphi }_2\rho (k-2)$、$\rho (1)={\varphi }_1/(1-{\varphi }_2)$、逆に解けば推定、定常は3つの条件か根で確かめる。これで解けるな