【疑問】AR(1) と MA(1) の自己相関、どう導くん？定常の条件 |φ|<1 はどこから出てくるん【統計検定1級】

AR(1) と MA(1) の自己相関関数を導いて、定常であるための条件を示せ、って問題

前提のおさらい。弱定常は平均が一定で、自己共分散 $\gamma (k)=\mathrm{Cov}(X_t,X_{t+k})$ がずれ $k$ だけで決まること。自己相関は $\rho (k)=\gamma (k)/\gamma (0)$
${\epsilon }_t$ は平均0・分散 ${\sigma }^2$ で互いに無相関（ホワイトノイズ）とする

＞＞1
AR(1) は $X_t=\varphi X_{t-1}+{\epsilon }_t$。${\epsilon }_t$ は過去の $X$ と無相関やから、両辺の分散をとって
$\gamma (0)={\varphi }^2\gamma (0)+{\sigma }^2$ より

分散が正の有限な値になるには $|\varphi |<1$ が要る。$\rho (k)$ は両辺に $X_{t-k}$ をかけて期待値をとると $\gamma (k)=\varphi \gamma (k-1)$ から出る

数字で。$\varphi =0.6$ なら $\gamma (0)={\sigma }^2/0.64\approx 1.56{\sigma }^2$
$\rho (1)=0.6$、$\rho (2)=0.36$、$\rho (3)=0.216$。等比で減っていく
$\varphi =-0.6$ なら $-0.6,0.36,-0.216$ と符号が入れかわる

＞＞3
$\varphi =1$ やったらどうなるん

＞＞5
ランダムウォーク。$\gamma (0)={\sigma }^2/(1-1)$ で分母が0になって、分散が時点とともに増える。定常ではない

MA(1) は $X_t={\epsilon }_t+\theta {\epsilon }_{t-1}$。無相関の和やから分散と共分散がすぐ出る
$\gamma (0)=(1+{\theta }^2){\sigma }^2$、$\gamma (1)=\theta {\sigma }^2$、$k\ge 2$ で $\gamma (k)=0$

＞＞7
$\theta =0.5$ で $\rho (1)=0.5/1.25=0.4$。$\theta =2$ でも $2/5=0.4$ で同じになる
自己相関からは区別できんから、$|\theta |<1$（反転可能）のほうを選ぶ決まりにする。${\epsilon }_t$ を過去の $X$ で表せる側

＞＞8
$\rho (1)=\theta /(1+{\theta }^2)$ は $\theta =1$ で最大の0.5。だから標本でラグ1が0.6、ラグ2以降がほぼ0、みたいな形は MA(1) では説明できん

＞＞7
MA(1) は定常の条件いらんの？

＞＞10
いらん。有限個のホワイトノイズの和やから、$\theta$ が何でも平均も自己共分散も時点によらない。条件が要るのは AR のほう

見分け方をまとめると、自己相関が等比で減るなら AR、ラグ $q$ で切れるなら MA($q$)
偏自己相関（間の時点の影響を除いた相関）では逆になって、AR($p$) はラグ $p$ で切れて、MA は減っていく

AR(1) は分散の式から $|\varphi |<1$、$\rho (k)={\varphi }^k$、MA(1) は $\rho (1)=\theta /(1+{\theta }^2)$ でラグ2から0、反転可能な $|\theta |<1$ を選ぶ。これで導けるな