【疑問】対数正規分布って「対数をとったら正規分布」ってだけの話なん？【統計検定準1級】

対数正規分布って「対数をとったら正規分布になる」ってだけやろ
わざわざ別の分布として覚える意味あるんか

＞＞1
定義のおさらい。$Y=\log X$ が正規分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ に従うとき、$X=e^Y$ の分布が対数正規分布
$X$ は必ず0より大きくて、右に裾が長い形になる

＞＞2
なら対数をとって正規分布で計算して、最後に $e$ で戻せば全部済むやん

＞＞3
戻し方で間違えやすい。中央値はそのまま戻せて $e^{\mu }$ やけど、平均は戻らない

$\mu =\log 400$、$\sigma =0.5$ なら、中央値は400、平均は $400\times e^{0.125}\approx 453$

＞＞4
なんで中央値は戻せて、平均は戻せんのや

＞＞5
$\log$ は大小の順番を変えないから、真ん中の値は戻しても真ん中のまま
平均は足し算で決まる量で、$e^x$ は下に凸に曲がってるから、戻すと大きい側に引っ張られる。その上乗せ分が ${\sigma }^2/2$

データの対数の平均をとって、$e$ で戻した値を「平均」として出してたわ

＞＞7
それは幾何平均。対数正規分布なら、中央値 $e^{\mu }$ の推定になる
＞＞4の例やと、幾何平均は400くらいに出るけど、本当の平均は453で、1割以上小さく見積もってる

＞＞8
でも幾何平均は外れ値に強いんやから、代表の値としてはむしろそっちのほうがええやろ

＞＞9
代表の値として使うならそれでいい
ただ総額や合計を見積もりたいなら、平均 $e^{\mu +{\sigma }^2/2}$ を使わんと、合計が1割以上少なく出る。何を知りたいかで決める話

ばらつきはどうなるん

＞＞11
分散は

＞＞4の例で約58000、標準偏差は約242
いちばん出やすい値（最頻値）は $e^{\mu -{\sigma }^2}\approx 312$ で、最頻値 < 中央値 < 平均 の順に並ぶ

95%くらいが入る範囲は？

＞＞13
対数の世界で $\mu \pm 1.96\sigma$ を作ってから戻す

で約150から約1066。中央値400から下に250、上に666で、左右非対称
「平均 ± 2 × 標準偏差」でやると $453-2\times 242$ がマイナスになって、マイナスがない量なのにおかしな範囲になる

＞＞14
1000を超える割合は？

＞＞15
これも対数に直して標準化する

そもそも、なんで現実のデータが対数正規分布になるん

＞＞17
掛け算で積み重なる量やから
毎回ランダムな倍率がかかって増減する量なら、対数をとると倍率の対数の足し算になる。独立なものがたくさん足されるから、中心極限定理で正規分布に近づく
粒子の大きさ、株価、所得あたりがよく例に出る

＞＞18
所得は、上のほうはもっと裾の厚い形（パレート分布）になるって聞いたけど

＞＞19
それはそう言われることが多い。真ん中あたりは対数正規分布でよく当てはまっても、ごく上のほうはもっと裾が厚い
対数正規分布は「だいたいの形」のモデルで、極端な値の割合まで当てにするときは裾を別に確かめる必要がある

モーメント母関数が存在しない分布って、これのことやろ

＞＞21
そう。$k$ 次のモーメントは全部有限で

と出せるのに、$t>0$ で $E[e^{tX}]$ が発散する。右の裾が、指数関数の増え方に勝ってしまうから

対数で正規にして計算はできるけど、平均は $e^{\mu +{\sigma }^2/2}$ で戻す。幾何平均は中央値のほう。範囲は対数で作ってから戻す。掛け算で増える量に出てくる。ちゃんと覚える意味あったわ