【疑問】コーシー分布は標本平均をとっても同じコーシー分布のまま、ってどう確かめるん【統計検定1級】

コーシー分布の標本を100個集めて平均しても、1個のときと分布が変わらんらしい
データを増やしても意味がないってこと？

前提のおさらい。独立な $X,Y$ が $N(0,1)$ のとき、$W=X/Y$ と $V=Y$ と置いて変数変換すると

これが標準コーシー分布。補助変数を置いてヤコビアンをかける、の手順で出る

性質から。分布関数は $F(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\arctan x$
$P(|X|\le 1)=0.5$ で、四分位点が $\pm 1$
平均は $\int \frac{|x|}{\pi (1+x^2)}dx$ が対数の速さで発散するから存在しない

＞＞1
モーメント母関数は存在しないから、いつも存在する特性関数を使う
標準コーシーの特性関数は $E[e^{itX}]=e^{-|t|}$
独立に $n$ 個とると、標本平均の特性関数は $(e^{-|t|/n}{)}^n=e^{-|t|}$

＞＞4
特性関数も一意性があるから、$\bar{X}$ はまた標準コーシー
$n=100$ でも $P(|\bar{X}|\le 1)=0.5$ のまま

＞＞5
2個の和なら畳み込みでも確かめられる。$X_1+X_2$ の密度は $\frac{2}{\pi (4+x^2)}$（尺度2のコーシー）で、2で割ると標準コーシーに戻る

＞＞5
大数の法則に反してない？

＞＞7
反してない。大数の法則は平均が存在することが仮定やから、平均のないコーシーはそもそも対象外
大きい値が出る確率がゆっくりしか減らないから、1個の外れ値が平均を引っぱり続ける

＞＞1
データを増やしても意味がない、は言いすぎやと思う。平均を使うのがダメなだけ

＞＞9
中央値なら一致する。中心が $\mu$ のコーシーで、標本中央値の漸近分散は $\frac{{\pi }^2}{4n}$
$n=100$ なら標準誤差 $\pi /20\approx 0.157$。平均の代わりに中央値を使えば、ちゃんと $\mu$ に近づく

＞＞10
外れ値に強い推定量が要る典型例やな

一般のコーシー分布は位置 $\mu$ と尺度 $\gamma$ で

$\mu$ は中央値、$\gamma$ は四分位範囲の半分。自由度1の $t$ 分布と同じもの

角度からも作れる。$\Theta \sim U(-\pi /2,\pi /2)$ なら $\tan \Theta$ が標準コーシー
$P(\tan \Theta \le 1)=P(\Theta \le \pi /4)=3/4$ で、分布関数の $\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\arctan 1=0.75$ と一致

平均がないから大数の法則も中心極限定理も使えない、特性関数で示すと標本平均は元のまま、中央値なら使える。この3点を書けばよさそうやな