【悲報】+50%と−50%で平均0%やと思ってたら、お金が25%減ってた【統計検定2級】

1年目に+50%、2年目に−50%になった投資、平均したら0%やから元に戻ってると思ってた
計算したら100万円が75万円になってた。なんでや

＞＞1
増減率は掛け算で効くから。100万円が1.5倍で150万円、そこから0.5倍で75万円

足し算の平均（算術平均）で $(+50\%-50\%)/2=0\%$ としても、掛け算で積み重なる量の平均にはならない

＞＞2
じゃあ「1年あたり平均何%」はどう出すん

＞＞3
倍率を掛けて、年数分の累乗根をとる。これが幾何平均

1年あたり約13.4%ずつ減った、と同じ結果になる。$0.866^2\approx 0.75$ でちゃんと75万円に戻る

3年分ならどうなる

＞＞5
+10%、+20%、−10%なら倍率は1.1、1.2、0.9

1年あたり約5.9%。算術平均の $(10+20-10)/3\approx 6.7\%$ より小さい

＞＞6
6.7%と5.9%、たいして違わんやん

＞＞7
1年ごとやと小さく見えても、年数で効いてくる。3年で6.7%ずつなら $1.0667^3\approx 1.214$ で21.4%増えた計算になるけど、実際は18.8%しか増えてない
増減の振れ幅が大きいほど差が開く。＞＞1みたいに±50%やと、0%と−13.4%まで離れる

幾何平均って、いつも算術平均より小さいん？

＞＞9
正の値なら、幾何平均は算術平均以下で、全部の値が同じときだけ等しくなる（相加平均と相乗平均の関係）
2と8なら、算術平均5、幾何平均 $\sqrt{2\times 8}=4$

＞＞10
計算は、対数をとって算術平均してから戻しても同じ？

＞＞11
同じ。倍率の対数の平均は $(\log 1.1+\log 1.2+\log 0.9)/3\approx 0.0574$ で、$e^{0.0574}\approx 1.059$
掛け算を足し算に直してから平均してる、ってこと

＞＞12
でも算術平均のほうが使われる場面もあるやろ。投資の「期待リターン」とか

＞＞13
それはある。来年1年の増減率がどれくらいになりそうかの期待値なら算術平均
何年も続けたときの1年あたりの実際の伸びなら幾何平均。どっちを聞かれてるかで使い分ける

幾何平均が使えん場合は？

＞＞15
0やマイナスの値があると使えん。だから増減率（$-10\%$）のままやなく、倍率（0.9）に直してから計算する
−100%（倍率0）が1回でもあれば、幾何平均は0。全部なくなったら、ほかの年がどれだけ良くても戻らん

速さの平均で「調和平均」ってのも聞いた

＞＞17
行きを時速60km、帰りを時速40kmで同じ距離を走ったときの平均の速さは、時速50kmやなくて

距離が同じで時間が違うから、逆数で平均をとる。2と8の調和平均は3.2で、算術平均5 ≥ 幾何平均4 ≥ 調和平均3.2 の順になる

掛け算で積み重なるものは幾何平均、倍率に直して累乗根。算術平均より小さくて、振れ幅が大きいほど差が開く。速さみたいに逆数が効くなら調和平均。0%やと思ってた自分が怖いわ