【疑問】重積分の変数変換で出てくるヤコビアンって何なん？面積の伸び縮みってどういうこと【統計検定1級】

21レスカテゴリ：統計・確率

1: 名無しさん

2変数の変数変換で、ヤコビアンの絶対値をかけるのは公式として覚えてる
でも何をしてるのか分かってない

2: 名無しさん

前提のおさらい。1変数の置換 $x = g (u)$ では、 $d x = g^{'} (u) d u$
たとえば $x = 2 u$ なら $d x = 2 d u$ 。 $u$ の区間を $x$ に写すと長さが2倍になるから、2をかけて帳尻を合わせてる

3: 名無しさん

＞＞1
2変数でも同じで、 $x = x (u, v), y = y (u, v)$ と変換すると

d x d y = ∣ J ∣ d u d v, J = det \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial v}

$∣ J ∣$ が「面積が何倍になるか」の倍率

4: 名無しさん

行列式がなんで面積の倍率になるん

5: 名無しさん

＞＞4
まず線形な変換で見る。 $x = 2 u + v, y = u + 3 v$ とすると
$(u, v)$ の単位正方形の辺 $(1, 0)$ と $(0, 1)$ は、 $(2, 1)$ と $(1, 3)$ に写る
この2本のベクトルが作る平行四辺形の面積は

∣2 \times 3 - 1 \times 1∣ = 5

ヤコビアンも $J = 2 \times 3 - 1 \times 1 = 5$ で同じ

6: 名無しさん

＞＞5
変換が曲がってる場合は、ごく小さい範囲だけ見ればほぼ線形（1次の近似）とみなせる
だから $J$ はその場所ごとの面積の倍率で、場所によって値が変わってよい

7: 名無しさん

極座標の $r$ はどこから出てくるん

8: 名無しさん

＞＞7
$x = r cos θ, y = r sin θ$ なら

J = det (cos θ sin θ - r sin θ r cos θ) = r cos^{2} θ + r sin^{2} θ = r

半径 $r$ のところの小さい扇形は、だいたい縦 $d r$ 、横 $r d θ$ の長方形やから面積は $r d r d θ$

9: 名無しさん

＞＞8
数字で確かめると、半径2の円の面積は

\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2} r d r d θ = 2 π \times \frac{2 ^{2}}{2} = 4 π

$π r^{2}$ と一致する

10: 名無しさん

で、本題の $\int e^{- x^{2}} d x = π$ 。1変数だと原始関数が書けない
$I = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x$ とおいて2乗する

I^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- (x^{2} + y^{2})} d x d y = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\infty} e^{- r^{2}} r d r d θ

= 2 π \times [- \frac{1}{2} e^{- r^{2}}]_{0}^{\infty} = 2 π \times \frac{1}{2} = π

$I > 0$ やから $I = π \approx 1.7725$

11: 名無しさん

＞＞10
2乗して2重積分にするの、トリックすぎて答案の場で思いつく気がせん

12: 名無しさん

＞＞11
思いつくものというより、型として覚えるもんやと思う。 $x^{2} + y^{2}$ が出たら極座標
しかもヤコビアンの $r$ がつくおかげで $e^{- r^{2}} r$ は原始関数が書ける。 $r$ はじゃまものじゃなくて、計算を通すための鍵

13: 名無しさん

＞＞10
正規分布の密度の定数もここから。 $x = 2 t$ とおくと

\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} /2} d x = 2 \int_{- \infty}^{\infty} e^{- t^{2}} d t = 2 π \approx 2.5066

だから標準正規の密度は $\frac{1}{2 π} e^{- x^{2} /2}$ で全体の積分が1になる

14: 名無しさん

確率でもやってみる。 $X, Y$ が独立に標準正規分布に従うとき

P (X^{2} + Y^{2} \leq 1) = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} \frac{1}{2 π} e^{- r^{2} /2} r d r d θ = 1 - e^{- 1/2} \approx 0.3935

15: 名無しさん

＞＞14
それ、別の方法で検算できるん

16: 名無しさん

＞＞15
$X^{2} + Y^{2}$ は自由度2のカイ二乗分布に従って、その分布関数は $1 - e^{- x /2}$
$x = 1$ を入れると $1 - e^{- 1/2} \approx 0.3935$ で一致

17: 名無しさん

逆向きに、 $u = x + y, v = x - y$ みたいに $u, v$ のほうが $x, y$ で書いてあるときは？

18: 名無しさん

＞＞17
そのまま偏微分すると $\partial (u, v) / \partial (x, y) = det (11 1 - 1) = - 2$
逆変換のヤコビアンはその逆数やから、 $d x d y = \frac{1}{∣ - 2∣} d u d v = \frac{1}{2} d u d v$
$x = (u + v) /2, y = (u - v) /2$ を直接偏微分しても $- 1/4 - 1/4 = - 1/2$ で同じ

19: 名無しさん

範囲の変換を忘れるのが一番こわい
$x > 0, y > 0$ を $x = s t, y = s (1 - t)$ で写すと $s > 0, 0 < t < 1$
$J = det (t 1 - t s - s) = - t s - s (1 - t) = - s$ やから $∣ J ∣ = s$
これでガンマ関数の積 $Γ (a) Γ (b)$ が $Γ (a + b) B (a, b)$ になる。 $a = 3, b = 4$ なら左辺 $2 \times 6 = 12$ 、右辺 $720 \times \frac{1}{60} = 12$

20: 名無しさん

＞＞19
絶対値も忘れたらあかんな。 $J = - s$ のまま使ったら、確率が負になる

21: 名無しさん

手順は、変換と逆変換を書く → $J$ を計算して絶対値 → 新しい変数の範囲 → 積分、の4つやな

管理人のひとこと

変数変換 $x = x (u, v), y = y (u, v)$ では $d x d y = ∣ J ∣ d u d v$ 。 $∣ J ∣$ はその場所での面積の倍率。例： $x = 2 u + v, y = u + 3 v$ なら $J = 5$ 。
極座標では $J = r$ 。 $I^{2} = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\infty} e^{- r^{2}} r d r d θ = π$ から $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = π$ 、 $\int e^{- x^{2} /2} d x = 2 π$ 。
数値例： $X, Y$ 独立な標準正規なら $P (X^{2} + Y^{2} \leq 1) = 1 - e^{- 1/2} \approx 0.3935$ （自由度2のカイ二乗でも同じ）。
逆変換のヤコビアンは逆数。範囲の変換と絶対値を忘れない。

【疑問】重積分の変数変換で出てくるヤコビアンって何なん？面積の伸び縮みってどういうこと【統計検定1級】

管理人のひとこと

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