【疑問】確率密度が2って、確率200%ってこと？密度って結局なんなん【統計検定2級】

0から0.5の一様分布やと、確率密度が2になるって書いてあった
確率が2って何？1を超えてるやん

＞＞1
密度は確率そのものやない。連続分布では、確率は密度のグラフの下の面積

0から0.5の一様分布なら、高さ2 × 幅0.5 で面積1。0から0.1に入る確率は $2\times 0.1=0.2$

＞＞2
じゃあ $X$ がぴったり0.1になる確率は？

＞＞3
0。幅が0の面積は0やから
だから連続分布では $P(X<a)$ と $P(X\le a)$ は同じ値になる

＞＞4
いや、どこかの値は必ず出るのに、どの値も確率0って変やろ

＞＞5
確率0は「起こり得ない」って意味やない。1点ずつは0でも、範囲で集めると合計1になる
実際のデータも測る桁で丸めてるから、「ぴったり0.1」やなくて「0.05以上0.15未満」みたいな幅の話になってる

じゃあ密度の値そのものには何の意味があるん

＞＞7
その値の近くの、小さい幅 $\Delta$ に入る確率がだいたい $f(x)\Delta$

標準正規分布で $f(0)\approx 0.399$。$-0.05$ から $0.05$ の幅0.1なら $0.399\times 0.1\approx 0.0399$ で、正確な値も約0.0399
密度は「単位幅あたりの確率」

＞＞8
「単位幅あたり」ってことは、単位を変えたら値も変わるんか

＞＞9
変わる。待ち時間が0〜0.5時間の一様分布なら密度は2（1時間あたり）
同じものを分で測って0〜30分にすると、密度は $1/30\approx 0.033$（1分あたり）
同じ現象でも単位で数字が変わるから、密度の値だけを見て、別の量と「起きやすさ」を比べたらあかん

密度から平均はどう出すん

＞＞11
$f(x)=2x$（$0\le x\le 1$）で例を作る。まず面積が ${\int }_0^{1}2xdx=1$ になってることを確認
0.5以下になる確率は ${\int }_0^{0.5}2xdx=0.25$
平均は値に密度を掛けて積分して

分布関数ってのもよく出てくるけど、密度とどう違うん

＞＞13
分布関数は $F(x)=P(X\le x)$ で、「$x$ 以下になる確率」そのもの。密度はそれを微分したもの
$f(x)=2x$ なら $F(x)=x^2$ で、$F(0.5)=0.25$ は＞＞12の計算と同じ
分布関数は確率やから0から1の間に収まるけど、密度は1を超えてもいい

サイコロみたいな、とびとびの値のときは？

＞＞15
とびとびの値なら $P(X=k)$ そのものが確率（確率関数）で、全部足すと1
連続なら密度を積分すると1。「足す」か「積分する」かの違い

密度がいちばん高いところが、いちばん起こりやすい値ってことでええ？

＞＞17
「その近くの同じ幅の範囲が、いちばん起こりやすい」と読むならそれでいい。密度がいちばん高い値が最頻値
平均5分の指数分布（待ち時間の分布）なら、密度がいちばん高いのは0分

＞＞18
待ち時間0分がいちばん起こりやすいって、感覚と合わんやろ。平均は5分やのに

＞＞19
幅1分ずつで比べると納得できると思う
0〜1分に入る確率は $1-e^{-0.2}\approx 0.181$、4〜5分は $e^{-0.8}-e^{-1}\approx 0.081$
平均が5分でも、いちばんありがちな1分間は0の近く。平均と最頻値は別物

密度は確率やなくて「単位幅あたりの確率」で、面積が確率。1点の確率は0、密度は1を超えてもいい、単位で値が変わる。これでもう2を見ても驚かん