【疑問】一様乱数から指数分布や正規分布の乱数を作るにはどうするん？逆関数法と棄却法【統計検定1級】

11レスカテゴリ：統計・確率

1: 名無しさん

一様乱数 $U (0, 1)$ だけを使って、指数分布と正規分布の乱数を作る方法を説明せよ、って問題

2: 名無しさん

前提のおさらい。確率積分変換： $X$ が連続で分布関数が $F$ なら $F (X) \sim U (0, 1)$ 。逆に $U \sim U (0, 1)$ なら $F^{- 1} (U)$ は分布関数 $F$ に従う

3: 名無しさん

＞＞1
逆関数法。 $F$ の逆関数が書ければ、 $X = F^{- 1} (U)$ でいい
指数分布 $F (x) = 1 - e^{- λ x}$ なら $X = - \frac{1}{λ} lo g (1 - U)$
$λ = 2$ で $U = 0.3$ なら $- lo g 0.7/2 \approx 0.178$ 、 $U = 0.7$ なら $- lo g 0.3/2 \approx 0.602$

4: 名無しさん

＞＞3
離散でも同じ。ベルヌーイ（確率 $p$ ）なら「 $U < p$ なら1」で、分布関数の段差に $U$ が落ちた場所で値を決める

5: 名無しさん

＞＞1
正規は $F^{- 1}$ が式で書けへんやん

6: 名無しさん

＞＞5
正規はボックス・ミュラー法。独立な $U_{1}, U_{2}$ から
$Z_{1} = - 2 lo g U_{1} cos (2 π U_{2})$ 、 $Z_{2} = - 2 lo g U_{1} sin (2 π U_{2})$ が独立な標準正規
$U_{1} = 0.3, U_{2} = 0.2$ なら $Z_{1} \approx 0.480$ 、 $Z_{2} \approx 1.476$
2次元の正規を極座標で見ると、半径の2乗が平均2の指数分布、角度が一様になることから出る

7: 名無しさん

＞＞5
もう1つの方法が棄却法。作りたい密度 $f$ と、作りやすい密度 $g$ で、 $f (x) \leq M g (x)$ となる $M$ を用意する
$Y \sim g$ と $U$ を引いて、 $U \leq \frac{f ( Y )}{M g ( Y )}$ なら $Y$ を採用、だめならやり直し

P (Y \leq y ∣ 採用) = \frac{\int _{- \infty}^{y} g \cdot \frac{f}{M g} d x}{\int g \cdot \frac{f}{M g} d x} = \frac{F ( y ) / M}{1/ M} = F (y)

8: 名無しさん

＞＞7
例。 $B e (2, 2)$ の密度 $6 x (1 - x)$ は最大1.5やから、 $g$ を一様、 $M = 1.5$ にとれる
採用の確率は $1/ M = 2/3$ 。シミュレーションしても約0.666で、採用した値の平均約0.500、分散約0.0499（理論値0.05）

9: 名無しさん

＞＞8
$M$ を大きめにとっておけば安全やから、余裕をもって $M = 10$ くらいにしとけばええやん

10: 名無しさん

＞＞9
正しい分布にはなるけど、採用率が $1/ M = 0.1$ に落ちて10倍遅くなる
$M$ は $f / g$ の最大値ちょうどが一番効率がいい。 $g$ を $f$ の形に近づけるほど $M$ は1に近づく

11: 名無しさん

逆関数が書けるなら逆関数法、書けないならボックス・ミュラーか棄却法、棄却法の効率は $1/ M$ 。これで答えられるな

管理人のひとこと

逆関数法： $X = F^{- 1} (U)$ 。指数分布は $- lo g (1 - U) / λ$ （ $λ = 2$ 、 $U = 0.3$ で0.178）。
ボックス・ミュラー法： $- 2 lo g U_{1} cos (2 π U_{2})$ などで独立な標準正規が2つできる。
棄却法： $f \leq M g$ で、 $U \leq f (Y) / (M g (Y))$ なら採用。採用率は $1/ M$ （ $B e (2, 2)$ と一様で $M = 1.5$ 、採用率2/3）。

【疑問】一様乱数から指数分布や正規分布の乱数を作るにはどうするん？逆関数法と棄却法【統計検定1級】

管理人のひとこと

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