【疑問】モンテカルロ法で積分すると、誤差が 1/√n でしか減らんってほんま？桁を1つ増やすには何倍要るん【統計検定1級】

${\int }_0^1{e}^{-x^2}dx$ を乱数で近似して、誤差の大きさを評価せよ、って問題

前提のおさらいを2つ
一様乱数から逆関数法などで、いろいろな分布の乱数を作れる
中心極限定理：独立同分布で分散 ${\sigma }^2$ なら、$\sqrt{n}(\bar{X}-\mu )/\sigma \to N(0,1)$

＞＞1
積分を期待値と見る。$U\sim U(0,1)$ なら

大数の法則で ${\hat{I}}_n\to I$。${\hat{I}}_n$ は不偏で、分散は ${\sigma }^2/n$（${\sigma }^2=V[g(U)]$）

＞＞3
中心極限定理から、誤差はおよそ $N(0,{\sigma }^2/n)$。標準誤差は $\sigma /\sqrt{n}$
$g(x)=e^{-x^2}$ なら $I\approx 0.7468$、$\sigma \approx 0.201$
$n=10000$ で標準誤差 $\approx 0.201/100=0.0020$。実際に推定を1000回くり返して推定値のばらつきを見ても約0.0020

＞＞4
$1/\sqrt{n}$ やから、誤差を10分の1（1桁）にするには $n$ を100倍。遅いな

円周率の例でも同じ。正方形に点を打って円に入る割合 $p=\pi /4$ を推定すると、1点の標準偏差は $\sqrt{p(1-p)}\approx 0.411$
$n=10000$ で $\hat{\pi }=4\hat{p}$ の標準誤差は $4\times 0.411/100\approx 0.016$。小数第2位がやっと怪しくない程度

＞＞5
1次元の積分なら台形公式のほうがずっと速いやん。モンテカルロを使う意味ある？

＞＞7
1次元ならそのとおり。でも $1/\sqrt{n}$ は次元によらない
格子で積分すると、$d$ 次元で1辺10点なら $10^d$ 点要る。10次元で $10^{10}$ 点。モンテカルロは何次元でも、同じ $n$ で同じ標準誤差の目安になる

＞＞8
$\sigma$ を小さくする工夫もある。$g$ に形の近い密度から点を打って重みで補正する（重点サンプリング）と、$1/\sqrt{n}$ のままでも係数が小さくなる

＞＞4
標準誤差の $\sigma$ も同じ乱数から推定できる。推定値と一緒に「$\pm 2\times$ 標準誤差」を書いておくと、何桁信じられるかが伝わる

積分を期待値に直す、平均で推定、標準誤差 $\sigma /\sqrt{n}$、1桁に100倍、次元によらない。これで説明できるな