【疑問】打ち切りデータの最尤推定、途中で観測が終わった個体はどう尤度に入れるん？トランケーションとは何が違うん【統計検定1級】

10個の部品の寿命試験を12時間で打ち切った。7個は途中で壊れて、3個は12時間たっても動いてた
指数分布の率を最尤推定せよ、って問題

前提のおさらいを3つ
欠測が値そのものによる（MNAR）と、観測された部分だけで推定すると偏る
生存関数 $S(t)=P(T>t)$、指数分布なら $f(t)=\lambda e^{-\lambda t}$、$S(t)=e^{-\lambda t}$
最尤推定は、尤度を書いて最大にする。微分で解けないときは定義に戻る

＞＞1
壊れた個体は「その時刻に壊れた」で密度 $f(t_i)$、打ち切られた個体は「その時刻まで壊れなかった」で $S(c_i)$ が尤度に入る

$r$ は故障の数、$\sum t_i$ は打ち切りも含めた観測時間の合計

＞＞3
対数をとって微分すると $r/\lambda -\sum t_i=0$ で、$\hat{\lambda }=r/\sum t_i$
故障時刻 $2,3,5,6,8,9,11$（合計44）、打ち切り $12\times 3=36$
$\hat{\lambda }=7/80=0.0875$、平均寿命の推定は $80/7\approx 11.4$ 時間

＞＞4
打ち切りの3個は寿命が分からんのやから、除いて7個で出せばええやん

＞＞5
それだと $7/44\approx 0.159$、平均寿命6.3時間。長生きする個体ほど除かれるから、寿命を短く見積もる
打ち切られた個体を12時間で壊れたことにしても $10/80=0.125$ で、やっぱり短く出る。「少なくとも12時間」という情報を $S(c)$ でそのまま入れるのが正しい

＞＞4
標準誤差は観測情報量 $r/{\hat{\lambda }}^2$ から $\hat{\lambda }/\sqrt{r}\approx 0.0331$。効いてるのは個体数10やなくて故障数7

＞＞1
トランケーションは何が違うん

＞＞8
打ち切りは「個体はいるけど値が途中まで」、トランケーションは「範囲外の個体はそもそもデータに入らない」
たとえば、ある時刻 $\tau$ より後まで生き残った個体だけを観測できる（左側トランケーション）なら、尤度は条件付きの密度

指数分布なら $\lambda e^{-\lambda (t_i-\tau )}$ で、無記憶性のおかげで $\tau$ からの経過時間の指数分布になる

＞＞9
打ち切りは個体の数が分かってるけど、トランケーションでは範囲外に何個あったかも分からない。だから分母で割って条件づける

故障は $f$、打ち切りは $S$、トランケーションは $S(\tau )$ や $F(\tau )$ で割る。指数分布なら $\hat{\lambda }=r/\sum t_i$。これで書けるな