【疑問】適合度のカイ二乗検定、母数を推定したら自由度が1減るのはなんで？【統計検定1級】

11レスカテゴリ：統計・確率

1: 名無しさん

データがポアソン分布に従うか、適合度検定せよ、って問題
平均を推定して期待度数を出したら、自由度を1引けって書いてあった。なんで

2: 名無しさん

前提のおさらいを2つ
多項分布の度数 $(O_{1}, \dots, O_{k})$ は和が $n$ に決まってるから、共分散が $- n p_{i} p_{j}$ で負になる
尤度比検定の自由度は「全体で自由に動ける母数の数」−「帰無仮説で自由に動ける母数の数」

3: 名無しさん

＞＞1
まず統計量

X^{2} = j = 1 \sum k \frac{( O _{j} - E _{j} ) ^{2}}{E _{j}}

確率が全部決まってるなら、 $X^{2}$ は漸近的に $χ_{k - 1}^{2}$ 。 $k$ 個の度数の和が $n$ という制約で1つ減る

4: 名無しさん

＞＞3
母数を $m$ 個推定するなら自由度は $k - 1 - m$ 。尤度比検定の数え方で言うと
全体（多項分布）では自由に動ける確率が $k - 1$ 個、帰無仮説（ポアソン）では $λ$ の1個
差は $k - 1 - 1 = k - 2$

5: 名無しさん

＞＞4
推定するとデータに合わせた期待度数になるから、 $X^{2}$ が小さめに出る。その分を自由度で引いてる

6: 名無しさん

数字で。100個の観測が、0が40、1が28、2が18、3が9、4が5
$\hat{λ} = (28 + 36 + 27 + 20) /100 = 1.11$ 。期待度数は $32.96, 36.58, 20.30, 7.51, 2.65$
4の期待度数が5未満やから3以上にまとめて $10.16$ 。セルは4個

7: 名無しさん

＞＞6
$X^{2} \approx 5.23$ 。自由度 $4 - 1 - 1 = 2$ で、上側5%点 $5.99$ に届かず、P値約0.073
自由度を引き忘れて3にすると、P値約0.156。倍くらい違う

8: 名無しさん

＞＞5
ほんまに小さめに出るん？理屈だけやと信じにくい

9: 名無しさん

＞＞8
シミュレーションで見える。 $λ = 1.13$ のポアソンから100個を何度も引いて、毎回 $λ$ を推定して4セルの $X^{2}$ を出すと、平均は約2.08
$χ_{2}^{2}$ の平均は2、 $χ_{3}^{2}$ なら3。2のほうに合ってる

10: 名無しさん

＞＞9
細かいことを言うと、 $k - 1 - m$ がきっちり成り立つのは、まとめたセルの度数から最尤推定したとき。生のデータから推定すると、分布は $χ_{k - 1 - m}^{2}$ と $χ_{k - 1}^{2}$ の間になる（チャーノフ・レーマン）
この例ではほぼ $χ_{2}^{2}$ で、実用上の差は小さい

11: 名無しさん

期待度数を出す、5未満はまとめる、自由度は（セル数）−1−（推定した母数の数）。この3つを答案に書けばええな

管理人のひとこと

$X^{2} = \sum (O_{j} - E_{j})^{2} / E_{j}$ 。確率が全部決まっていれば $χ_{k - 1}^{2}$ 、母数を $m$ 個推定すれば $χ_{k - 1 - m}^{2}$ 。尤度比検定の自由度の数え方と同じ。
例： $\hat{λ} = 1.11$ 、4セルで $X^{2} \approx 5.23$ 、自由度2でP値約0.073。自由度3にするとP値約0.156。
シミュレーションでも推定後の $X^{2}$ の平均は約2.08で、 $χ_{2}^{2}$ に合う。

【疑問】適合度のカイ二乗検定、母数を推定したら自由度が1減るのはなんで？【統計検定1級】

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