【疑問】自由度って結局なんの数なん？「データ数−1」じゃないときもあるやん【統計検定2級】

自由度って、カイ二乗分布でもt分布でもF分布でも出てくる
「データ数−1」って覚えてたら、そうじゃないときもあって混乱する。結局なんの数なん

＞＞1
一言でいうと「決まりごと（制約）があるもとで、自由に決められる値の個数」
3つの数の平均が10と決まってたら、合計は30。1つ目を8、2つ目を13と自由に決めたら

3つ目は9に決まってしまう。自由に選べたのは2個

＞＞2
それと分散を $n-1$ で割る話はどうつながるん

＞＞3
偏差（データ−平均）は、足すと必ず0になる

8, 13, 9 なら平均10で偏差は $-2,3,-1$、足して0
偏差は3個あるけど、自由に動けるのは2個。だから2乗和を2で割る：$(4+9+1)/2=7$

＞＞4
「動ける数」って、言い方を変えてるだけちゃうの。計算の上で何か意味あるんか

＞＞5
意味はある。正規分布のデータなら、偏差の2乗和を ${\sigma }^2$ で割ったものが自由度 $n-1$ のカイ二乗分布に従う
カイ二乗分布の平均は自由度に等しいから、2乗和の平均は $(n-1){\sigma }^2$
${\sigma }^2=4$、$n=3$ なら2乗和の平均は $2\times 4=8$。$n-1=2$ で割ってちょうど4になる

カイ二乗の適合度検定で「マスの数−1」なのも同じ理屈？

＞＞7
同じ。サイコロを60回振って、1〜6の目の回数を数えるとする
合計が60と決まってるから、5つの目の回数が決まれば6つ目は決まる
マス6個で自由度は $6-1=5$

＞＞8
でも、分布のパラメータをデータから推定したら、さらに引くって聞いたぞ

＞＞9
そう。例えばポアソン分布の平均をデータから推定して当てはめたら、推定した1個分だけさらに引く
マス5個なら $5-1-1=3$。推定に使った分だけ、決まりごとが増える

分割表は？2行3列の表とか

＞＞11
行の数を $r$、列の数を $c$ として $(r-1)(c-1)$
2行2列で、行の合計が30と70、列の合計が40と60と決まってるとする
左上を10と決めたら、右上は $30-10=20$、左下は $40-10=30$、右下は $60-20=40$ で全部決まる。自由度は $(2-1)(2-1)=1$
2行3列なら $(2-1)(3-1)=2$

＞＞12
自由度を間違えたら何が困るん

＞＞13
境目の値が変わって、結論が変わる。カイ二乗分布の上側5%点は
自由度1で3.84、2で5.99、3で7.81、5で11.07
同じカイ二乗値6.0でも、自由度2ならp値は約0.050で境目ぎりぎり、自由度3なら約0.11で全然届かない

t検定のほうは？2つのグループを比べるとき

＞＞15
1つのグループの平均の検定なら $n-1$
2つのグループで分散が等しいと仮定するt検定なら、平均を2つ推定するから $n_1+n_2-2$
10人と12人なら $10+12-2=20$ で、両側5%の境目は約2.086

＞＞16
じゃあ「データ数から、推定した平均の数を引く」で全部いけるんか

＞＞17
平均に限らず「推定したパラメータの数」を引く
直線 $y=a+bx$ を当てはめる単回帰なら、$a$ と $b$ の2つを推定するから、残差の自由度は $n-2$
データ12組なら $12-2=10$

＞＞18
その覚え方やと分割表で迷わんか。＞＞12の $(r-1)(c-1)$ は「データ数−推定した数」に見えんやろ
公式で覚えるより、＞＞12みたいに「何マス自由に埋められるか」を数えたほうが確実やと思う

＞＞19
分割表も同じ形に直せる。独立性の検定では、行の割合 $r-1$ 個と列の割合 $c-1$ 個を推定してる
「マスの数−1−推定した数」で計算すると、2行3列なら

数えても公式でも同じ答えになる。迷ったら両方でやって一致を確認すればええ

自由度は「決まりごとのもとで自由に決められる数」。偏差の合計0で1個減る、推定したパラメータの分だけ減る、分割表は $(r-1)(c-1)$。自由度を間違えると境目が変わるから、検定のたびに数え直すわ