【疑問】カイ二乗分布って、何を2乗して何を足してるん？【統計検定2級】

カイ二乗検定はなんとなく使えるけど
カイ二乗分布そのものが何なのか分からん

＞＞1
定義はシンプル
標準正規分布（平均0、標準偏差1の正規分布）に従う独立な値を $k$ 個とって、それぞれ2乗して足したものの分布
この $k$ を自由度（足し合わせた2乗の個数）と呼ぶ。記号は ${\chi }^2(k)$

＞＞2
自由度1やったら？

＞＞3
標準正規の値を1個2乗しただけ
標準正規で、絶対値が1.96を超える確率は5%やったな。2乗すると

自由度1のカイ二乗分布で3.84を超える確率は、ちょうど約5%になる

＞＞4
なるほど、同じことを2乗の世界で言ってるだけか

平均とばらつきは？

＞＞6
平均は自由度 $k$、分散は $2k$
自由度3なら平均3、分散6
2乗の和やから0より小さくならず、右に長く伸びた形。自由度が大きくなると左右対称に近づく

検定以外で使うところは？

＞＞8
正規分布から取ったデータの分散を推定するとき
データ数を $n$、不偏分散（$n-1$ で割った分散）を $s^2$、本当の分散を ${\sigma }^2$ とすると

が自由度 $n-1$ のカイ二乗分布に従う。これで分散の信頼区間が作れる

＞＞9
数字で

＞＞10
10個のデータで $s^2=4$ のとき、自由度9のカイ二乗分布の上側2.5%点は約19.02、下側2.5%点は約2.70

これが ${\sigma }^2$ の95%信頼区間

＞＞11
4が真ん中に来てないやん。おかしくない？

＞＞12
おかしくない。カイ二乗分布が左右非対称やから、区間も非対称になる
平均の信頼区間みたいに「推定値±幅」の形にはならん

適合度検定のほうも具体例くれ

＞＞14
4種類の味のアイスを100個売って、売れた数が30, 20, 25, 25
「どの味も同じ人気」が正しければ期待値は各25個。ずれを

で測る。これが近似的に自由度 $4-1=3$ のカイ二乗分布に従う

＞＞15
2.0って大きいん？

＞＞16
自由度3の平均は3やから、むしろ小さい
2.0以上になる確率（p値）は約0.57。5%の基準になる値は約7.81で、全然届かん
「人気に差がある」とは言えん

＞＞17
自由度は、なんで4やなくて3なん

＞＞18
合計が100個と決まってるから、3種類の個数が決まれば最後の1つは自動で決まる。自由に動けるのが3つ
それと、期待値が小さいマスがあると近似が悪くなる。期待値が5未満のマスが多いときは使わんのが目安

＞＞19
いや、期待値5未満でも、合計の個数が多ければ大丈夫ちゃうの

＞＞20
合計が多くても、期待値の小さいマスがあると、そのマスの項が大きく振れやすい。合計よりマスごとの期待値を見るのが安全

2乗の和、平均 $k$ で分散 $2k$、分散の区間は非対称、適合度は自由度がマスの数−1。これやな