【疑問】戻さずに引くと分散が (N−n)/(N−1) 倍に縮むの、どうやって導くん【統計検定1級】

13レスカテゴリ：統計・確率

1: 名無しさん

超幾何分布の分散 $n \frac{M}{N} (1 - \frac{M}{N}) \frac{N - n}{N - 1}$ 、最後の $\frac{N - n}{N - 1}$ がどこから来るのか分からん

2: 名無しさん

前提のおさらい。二項分布は独立なベルヌーイの和と見れば、平均 $n p$ 、分散 $n p (1 - p)$ がすぐ出る
戻さずに引くと独立ではなくなるところが違う

3: 名無しさん

設定から。 $N$ 個のうち当たりが $M$ 個、戻さずに $n$ 個引いたときの当たりの数 $X$

P (X = k) = \frac{( k M ) ( n - k N - M )}{( n N )}

$N = 50, M = 10, n = 8$ で $P (X = 0) = (8 40) / (8 50) \approx 0.143$ 。戻して引く二項なら $0. 8^{8} \approx 0.168$

4: 名無しさん

＞＞1
$i$ 回目に当たりなら1になる $I_{i}$ を使って $X = I_{1} + \dots + I_{n}$ と書く
どの回も $P (I_{i} = 1) = M / N$ やから $E [X] = n M / N$ 。例なら $8 \times 0.2 = 1.6$

5: 名無しさん

＞＞4
2回目に当たる確率は、1回目の結果で変わるやろ。なんで $M / N$ のままなん

6: 名無しさん

＞＞5
1回目の結果を知ってたら変わる。でも何も知らない状態で2回目だけを見たら、どのカードが2番目に来るかは対称で、当たりの割合は $M / N$
条件付きでは変わる、条件なしでは同じ。期待値に要るのは条件なしのほう

7: 名無しさん

分散は、和の分散を共分散まで書く

V [X] = i \sum V [I_{i}] + i \neq = j \sum Cov (I_{i}, I_{j})

$P (I_{i} = 1, I_{j} = 1) = \frac{M ( M - 1 )}{N ( N - 1 )}$ やから、 $p = M / N$ として

Cov (I_{i}, I_{j}) = \frac{M ( M - 1 )}{N ( N - 1 )} - p^{2} = - \frac{p ( 1 - p )}{N - 1}

8: 名無しさん

＞＞7
組 $(i, j)$ は $n (n - 1)$ 個あるから

V [X] = n p (1 - p) - n (n - 1) \frac{p ( 1 - p )}{N - 1} = n p (1 - p) \frac{N - n}{N - 1}

例なら $1.28 \times 42/49 \approx 1.097$ 。二項の $1.28$ より小さい

9: 名無しさん

＞＞7
共分散が負なのは、当たりを1つ引くと残りの当たりが減るからやな

10: 名無しさん

＞＞8
確かめ方： $n = N$ なら全部引くから $X = M$ に決まって、分散は0。式も $\frac{N - N}{N - 1} = 0$ で合ってる
$n = 1$ なら $\frac{N - 1}{N - 1} = 1$ で、ベルヌーイと同じ

11: 名無しさん

＞＞8
$N$ が大きければ $\frac{N - n}{N - 1} \approx 1$ やから、ふつうは二項で近似してええやろ

12: 名無しさん

＞＞11
効くのは $n / N$ の大きさ。標本調査で母集団1000人から100人選ぶと
$\frac{1000 - 100}{999} \approx 0.901$ で、分散が1割小さくなる
抽出率が数%を超えるなら、二項で済ませると標準誤差を大きめに見積もることになる

13: 名無しさん

指示変数に分けて共分散を足す、という流れは、戻さない抽出ならほかの統計量でも同じように使えそうやな

管理人のひとこと

$X = I_{1} + \dots + I_{n}$ と指示変数に分ける。条件なしではどの回も $P (I_{i} = 1) = M / N$ なので $E [X] = n M / N$ 。
$Cov (I_{i}, I_{j}) = - p (1 - p) / (N - 1)$ が $n (n - 1)$ 組あり、 $V [X] = n p (1 - p) (N - n) / (N - 1)$ 。
例： $N = 50$ 、 $M = 10$ 、 $n = 8$ で平均1.6、分散約1.097（二項なら1.28）。 $P (X = 0) \approx 0.143$ （二項なら0.168）。
$n = N$ で0、 $n = 1$ で1になることで検算する。母集団1000から100なら有限母集団修正は約0.901。