【疑問】有意水準と「検定のサイズ」って同じちゃうの？棄却域で論述するってどう書くん【統計検定1級】

検定の答案で「有意水準5%で棄却」とだけ書いたら、棄却域とサイズを明示せよ、って直された

前提のおさらい。信頼区間はピボット量を分位点で挟んで作った
検定も同じ量を使って、「帰無仮説が正しいなら起こりにくい値」の集まりを決める

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言葉を並べる
帰無仮説 $H_0:\theta \in {\Theta }_0$、対立仮説 $H_1:\theta \in {\Theta }_1$。データ $X$ が棄却域 $R$ に入ったら $H_0$ を棄却する
第一種の過誤の確率 $P_{\theta }(X\in R)$（$\theta \in {\Theta }_0$）、第二種の過誤の確率 $P_{\theta }(X\notin R)$（$\theta \in {\Theta }_1$）

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水準 $\alpha$ の検定とは、サイズが $\alpha$ 以下の検定。「サイズ＝実際の最大の過誤確率」、「水準＝その上限として決めた値」

例で書く。$X_1,\dots ,X_{16}$ が $N(\mu ,1)$、$H_0:\mu \le 0$、$H_1:\mu >0$
棄却域 $R=\{\bar{X}>c\}$ とすると、$P_{\mu }(\bar{X}>c)$ は $\mu$ について増えるから、${\Theta }_0$ での最大は $\mu =0$
$P_0(\bar{X}>c)=0.05$ から $c=1.645/4\approx 0.411$

＞＞5
$\mu =0.5$ での第二種の過誤の確率は $P(\bar{X}\le 0.411)=\Phi ((0.411-0.5)\times 4)=\Phi (-0.355)\approx 0.361$

＞＞4
でもサイズと水準を分ける意味あるん？連続なら同じ値にできるやろ

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離散だと分かれる。$X\sim Bin(10,p)$、$H_0:p=0.5$、$H_1:p>0.5$ で
$R=\{X\ge 9\}$ のサイズは $11/1024\approx 0.0107$、$R=\{X\ge 8\}$ なら $56/1024\approx 0.0547$
水準5%で使えるのは $X\ge 9$ だけで、そのサイズは約1%。5%ちょうどにはできない

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5%ちょうどにしたいなら、$X=8$ のときにくじで棄却する確率を決める「確率化検定」がある。理論では使うけど、実務では使わない人が多い

＞＞9
実務で使わないなら、答案でも書かんでええやろ

＞＞10
ネイマン・ピアソンの最強力検定を離散で正確に書くときに要る。問題に「確率化を許す」とあれば書く、なければサイズが水準より小さいことを書いておく

仮説を集合で書く、棄却域を統計量の範囲で書く、サイズを ${\Theta }_0$ での最大として計算する、水準以下か確かめる。これで論述の形になるな