【疑問】2変量正規分布の条件付き分布から、なんで回帰直線が出てくるん【統計検定1級】

2変量正規で $X=x$ のときの $Y$ の条件付き分布を出せ、って問題
密度を割り算しようとしたら式が長すぎて途中でやめた

前提のおさらいを3つ
分散共分散行列 $\Sigma$ は正定値で、密度には二次形式 $(x-\mu {)}^{\top }{\Sigma }^{-1}(x-\mu )$ が入る
相関係数は $\rho ={\sigma }_{XY}/({\sigma }_X{\sigma }_Y)$
独立な正規分布の線形結合は正規分布

＞＞1
割り算せずに分解するのが速い

と書いて、$\epsilon$ と $X$ の共分散を計算すると
$\mathrm{Cov}(X,\epsilon )=\rho {\sigma }_X{\sigma }_Y-\rho \frac{{\sigma }_Y}{{\sigma }_X}{\sigma }_X^2=0$

＞＞3
無相関なだけで独立とは言えんやろ

＞＞4
$(X,\epsilon )$ は $(X,Y)$ の線形変換やから、これも2変量正規。同時に正規なら、無相関と独立は同じ
だから $X=x$ を知っても $\epsilon$ の分布は変わらず、分散は $V[\epsilon ]={\sigma }_Y^2-{\rho }^2{\sigma }_Y^2={\sigma }_Y^2(1-{\rho }^2)$

＞＞5
まとめると

条件付き平均が $x$ の1次式で、これが回帰直線。条件付き分散は $x$ によらない

数字で。身長 $X$ が平均170・標準偏差6、体重 $Y$ が平均62・標準偏差8、$\rho =0.5$
$X=182$ なら条件付き平均は $62+0.5\times \frac{8}{6}\times 12=70$、標準偏差は $8\sqrt{0.75}\approx 6.93$
$P(Y>75\mid X=182)=P(Z>0.722)\approx 0.235$

＞＞7
身長から体重の直線と、体重から身長の直線は同じ線になるんやろ

＞＞8
ならない。$X$ を $Y$ で回帰すると傾きは $\rho {\sigma }_X/{\sigma }_Y=0.375$。$Y$ を $X$ で回帰した傾き $0.667$ の逆数 $1.5$ とは違う
$|\rho |=1$ のときだけ2本が重なる

＞＞9
標準化すると傾きはどっちも $\rho$ で、1より小さい。どっちから予測しても平均のほうへ寄る

＞＞2
この例の行列は $\Sigma =\left(\begin{array}{cc}36& 24\\ 24& 64\end{array}\right)$ で、$\det \Sigma =2304-576=1728$
密度の等高線は二次形式が一定の楕円で、2変量では $Q=(x-\mu {)}^{\top }{\Sigma }^{-1}(x-\mu )$ が平均2の指数分布に従う。$P(Q\le 5.99)\approx 0.95$

分解して共分散0、同時正規やから独立、平均と分散を読む。密度を割り算するより、この3行のほうが答案にしやすいな