【疑問】X+Y や X/Y の分布、補助変数とヤコビアンってどう選べばええん【統計検定1級】

独立な $X,Y$ から $X/Y$ の分布を出せ、って問題で、1変数のときみたいに置換しようとして詰まった

前提のおさらい
1変数では $f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))|dx/dy|$
2変数では $|dx/dy|$ の代わりにヤコビアンの絶対値 $|\partial (x,y)/\partial (u,v)|$ をかける。面積の伸び縮みの率
同時密度から不要な変数を積分で消すと周辺密度になる

＞＞1
手順は決まってる
1. 欲しい $U$ のほかに補助変数 $V$ を1つ置いて、$(x,y)\to (u,v)$ を1対1にする
2. 逆に $x,y$ を $u,v$ で書いてヤコビアンを出す
3. $f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}(x(u,v),y(u,v))|J|$
4. $(u,v)$ の範囲を書いてから $v$ を積分で消す

和から。$X,Y$ が独立に平均1の指数分布、$U=X+Y$、$V=X$ とする
$x=v$、$y=u-v$ で $|J|=1$、範囲は $0<v<u$
$f_{U,V}=e^{-v}{e}^{-(u-v)}=e^{-u}$ やから $f_U(u)={\int }_0^u{e}^{-u}dv=u{e}^{-u}$
形状2のガンマ分布。$P(U\le 1)=1-2e^{-1}\approx 0.264$

＞＞4
範囲を忘れると ${\int }_0^{\infty }{e}^{-u}dv$ になって発散する。手順4がいちばん大事

＞＞1
比は $W=X/Y$、$V=Y$ と置く
$x=wv$、$y=v$ で $J=\det \left(\begin{array}{cc}v& w\\ 0& 1\end{array}\right)=v$
$f_{W,V}=e^{-wv}{e}^{-v}\cdot v$ で、$v$ を消すと

＞＞6
分布関数は $F_W(w)=w/(1+w)$。$P(W\le 1)=0.5$ は $X$ と $Y$ が対称やから当然で、$P(W\le 3)=0.75$
でも平均は ${\int }_0^{\infty }\frac{w}{(1+w{)}^2}dw$ が発散するから存在しない。平均がそれぞれ1の変数の比なのに

補助変数って、$V=Y$ と $V=X$ のどっちでもええの？

＞＞8
どっちでも答えは同じになる。逆変換が簡単でヤコビアンが小さい式になるほうを選ぶ
比なら分母の変数を残すと $x=wv$ の1つだけで済む

＞＞9
いや、うまく選ぶと積分が要らなくなることもある。$T=X/(X+Y)$ と $S=X+Y$ にすると
$x=ts$、$y=(1-t)s$、$|J|=s$ で、$f_{T,S}=e^{-s}\cdot s$（$0<t<1,s>0$）
$t$ が入ってないから、$T\sim U(0,1)$ と $S$ が独立だと一発で分かる

＞＞10
$P(T\le 0.3)=0.3$。合計の待ち時間のうち最初の1つの割合が一様になる

＞＞6
正規分布どうしでも同じ手順で、$X,Y$ が独立に $N(0,1)$ なら $X/Y$ はコーシー分布 $1/(\pi (1+w^2))$
$P(|X/Y|\le 1)=0.5$

範囲を書く、ヤコビアンは絶対値、補助変数は逆変換が楽なほう。比は分母を残す。この4つを毎回確認すればよさそう