【疑問】中心極限定理をモーメント母関数で示すって、どこでテイラー展開を使うん【統計検定1級】

中心極限定理の証明を追ってたら、途中で急に $e^{t^2/2}$ が出てきて、何をしたのか分からんかった

前提のおさらいを3つ
分布収束は、分布関数が連続な点で $F_{X_n}(x)\to F(x)$ になること
モーメント母関数が0の近くで存在して一致すれば同じ分布。独立な和ではかけ算になる
$(1+a/n+o(1/n){)}^n\to e^a$

＞＞1
道具がもう1つ要る。連続性定理
$M_{Z_n}(t)$ が0を含む開区間で $M_Z(t)$ に収束すれば、$Z_n$ は $Z$ に分布収束する
あとは $Z_n$ のモーメント母関数が $e^{t^2/2}$（標準正規のもの）に近づくことを示せばいい

＞＞3
標準化から。$Y_i=(X_i-\mu )/\sigma$ とおくと平均0・分散1で

独立同分布やから、$n$ 個の同じ母関数のかけ算

＞＞4
ここでテイラー展開。$M_Y(0)=1$、$M_Y^{\prime }(0)=E[Y]=0$、$M_Y^{\prime \prime }(0)=E[Y^2]=1$ やから

$s=t/\sqrt{n}$ を入れると $M_Y(t/\sqrt{n})=1+\frac{t^2}{2n}+o(1/n)$

＞＞5
$n$ 乗すると $[1+\frac{t^2}{2n}+o(1/n){]}^n\to e^{t^2/2}$
対数をとると $n\log (1+t^2/(2n)+o(1/n))=t^2/2+o(1)$ で確かめられる

＞＞5
1次の項が消えるのは平均0にしたから、2次の係数が $1/2$ なのは分散1にしたから
3次以上は $n^{-3/2}$ の大きさで、$n$ 乗しても消える

＞＞6
数字で近づき方を見たい

＞＞8
$Y$ が $\pm 1$ を確率1/2ずつとるなら $M_Y(s)=\cosh s$
$t=1$ で $\cosh (1/\sqrt{10}{)}^{10}\approx 1.6354$、$\cosh (1/\sqrt{100}{)}^{100}\approx 1.6474$
極限は $e^{0.5}\approx 1.6487$

＞＞3
その証明、モーメント母関数が存在するって仮定に頼ってるやろ。中心極限定理の仮定は分散が有限なだけのはず

＞＞10
その通りで、この証明は存在を仮定した弱い版。答案では仮定を最初に書いておく
分散が有限なだけの一般の場合は、いつも存在する特性関数で同じ流れをたどる。$e^{t^2/2}$ が $e^{-t^2/2}$ に変わるだけ

＞＞10
仮定つきでも、テイラー展開の2次までで正規分布が出る理由は全部見えてるから、筋をつかむにはこれで十分やと思う

実際の近さも確かめる。平均1の指数分布30個の和はガンマ分布で正確に計算できて
$P(S>30+1.645\sqrt{30})$ は約 $0.059$。正規近似なら $0.05$
右に長い分布でも、30個でこのくらいまで近づく

標準化、母関数を $n$ 乗、2次までのテイラー展開、$(1+a/n{)}^n\to e^a$、連続性定理。この順で書けばいいんやな