【疑問】(1+x/n)^n が e^x に近づくのってなんで？o(1/n) の扱いがよう分からん【統計検定1級】

16レスカテゴリ：統計・確率

1: 名無しさん

$(1 + x / n)^{n} \to e^{x}$ は覚えてる
でも解説で $o (1/ n)$ とかが出てくると、何を消して何を残してるのか読めん

2: 名無しさん

前提のおさらい。0のまわりのテイラー展開は

f (x) = f (0) + f^{'} (0) x + \frac{f ^{''} ( 0 )}{2} x^{2} + \dots

よく使うのは $e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + \dots$ と $lo g (1 + x) = x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} - \dots$ （ $∣ x ∣ < 1$ ）

3: 名無しさん

そもそも $o (1/ n)$ ってなに

4: 名無しさん

＞＞3
$a_{n} = o (1/ n)$ は「 $n$ 倍しても0に行く」、つまり $n a_{n} \to 0$ という意味
たとえば $1/ n^{2}$ は $n \times 1/ n^{2} = 1/ n \to 0$ やから $o (1/ n)$
$O (1/ n)$ のほうは「 $n$ 倍しても有界」。 $3/ n$ は $O (1/ n)$ やけど $o (1/ n)$ ではない

5: 名無しさん

＞＞1
対数をとって展開する

lo g (1 + \frac{x}{n})^{n} = n lo g (1 + \frac{x}{n}) = n (\frac{x}{n} - \frac{x ^{2}}{2 n ^{2}} + o (\frac{1}{n ^{2}})) = x - \frac{x ^{2}}{2 n} + o (\frac{1}{n})

$n \to \infty$ で右辺は $x$ に行く。指数関数は連続やから $(1 + x / n)^{n} \to e^{x}$

6: 名無しさん

＞＞5
$x = 1$ で数字を出してみた
$n = 10$ で $1. 1^{10} \approx 2.5937$ 、 $n = 100$ で $\approx 2.7048$ 、 $n = 1000$ で $\approx 2.7169$
$e \approx 2.71828$ に下から近づいてる

7: 名無しさん

＞＞6
展開の2項目まで使うと、ずれの大きさも読める

(1 + \frac{1}{n})^{n} \approx e \cdot e^{- 1/ (2 n)} \approx e (1 - \frac{1}{2 n})

$n = 10$ なら $2.7183 \times 0.95 \approx 2.582$ （本当は2.594）、 $n = 100$ なら $\approx 2.7047$ （本当は2.7048）
ずれの主な部分は $1/ n$ の速さで消える

8: 名無しさん

マイナスのときも同じなん？

9: 名無しさん

＞＞8
同じ。 $(1 - λ / n)^{n} \to e^{- λ}$
$λ = 2, n = 50$ なら $0.9 6^{50} \approx 0.1299$ 、 $e^{- 2} \approx 0.1353$
二項分布の確率 $(1 - p)^{n}$ で $n p = λ$ を一定にしたとき、ポアソン分布の $e^{- λ}$ が出てくるのはこれ

10: 名無しさん

もう少し一般に使える形にしておくと便利

n a_{n} \to a ならば (1 + a_{n})^{n} \to e^{a}

証明は上と同じで、 $n lo g (1 + a_{n}) = n a_{n} + n \cdot O (a_{n}^{2})$ の2項目が0に行くことを言うだけ

11: 名無しさん

＞＞10
モーメント母関数で中心極限定理を追うときに出てくる形が

(1 + \frac{t ^{2}}{2 n} + o (\frac{1}{n}))^{n} \to e^{t^{2} /2}

$t = 1, n = 50$ で $o$ の部分を無視すると $1.0 1^{50} \approx 1.6446$ 、 $e^{1/2} \approx 1.6487$

12: 名無しさん

＞＞10
そもそも $o (1/ n)$ の中身を気にせず消してええんか
中身によってはおかしくならん？

13: 名無しさん

＞＞12
消してええのは $n$ 倍して0になるものだけ。そこを確かめるのが仕事
たとえば $(1 + 1/ n + 1/ n^{1.5})^{n}$ は、余分な項が $n \times n^{- 1.5} = n^{- 1/2} \to 0$ やから $e$ に行く（ $n = 50$ で約3.09、ゆっくり近づく）
でも $(1 + 1/ n + 1/ n)^{n}$ は余分な項が $n \times n^{- 1/2} = n \to \infty$ で、発散する

14: 名無しさん

＞＞13
答案では「 $o (1/ n)$ 」と書いたら、なぜ $n$ 倍して0になるかの一言を添えたほうが安全やな

15: 名無しさん

1次の近似はデルタ法の素になる

g (\overset{ˉ}{X}) \approx g (μ) + g^{'} (μ) (\overset{ˉ}{X} - μ) \Rightarrow V [g (\overset{ˉ}{X})] \approx g^{'} (μ)^{2} \frac{σ ^{2}}{n}

$g (x) = x, μ = 4, σ^{2} = 9, n = 100$ なら $g^{'} (4) = 1/4$ で、 $V \approx \frac{1}{16} \times \frac{9}{100} \approx 0.0056$
正規分布で $1 0^{6}$ 回シミュレーションしたら0.0056で一致した

16: 名無しさん

展開の精度の感覚もつかんどきたい。 $1.1$ を2次まで展開すると $1 + 0.05 - 0.00125 = 1.04875$ 、本当は $1.04881$
3次以降の項が $0.0001$ くらいしか効いてない

管理人のひとこと

$a_{n} = o (1/ n)$ は $n a_{n} \to 0$ 、 $O (1/ n)$ は $n a_{n}$ が有界。例： $1/ n^{2} = o (1/ n)$ 、 $3/ n = O (1/ n)$ 。
$n lo g (1 + x / n) = x - x^{2} / (2 n) + o (1/ n) \to x$ から $(1 + x / n)^{n} \to e^{x}$ 。 $x = 1$ で $n = 10$ は2.5937、 $n = 100$ は2.7048。ずれは約 $e / (2 n)$ 。
一般形「 $n a_{n} \to a$ なら $(1 + a_{n})^{n} \to e^{a}$ 」がポアソン近似 $(1 - λ / n)^{n} \to e^{- λ}$ や、MGFによる中心極限定理 $(1 + t^{2} / (2 n) + o (1/ n))^{n} \to e^{t^{2} /2}$ で使われる。
消してよいのは $n$ 倍して0になる項だけ。 $1/ n$ の余分な項があると発散する。1次の近似はデルタ法 $V [g (\overset{ˉ}{X})] \approx g^{'} (μ)^{2} σ^{2} / n$ の素になる。

【疑問】(1+x/n)^n が e^x に近づくのってなんで？o(1/n) の扱いがよう分からん【統計検定1級】

管理人のひとこと

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