【疑問】大数の弱法則の証明、チェビシェフを1回使うだけで終わるってほんま？答案にどう書くん【統計検定1級】

大数の弱法則を証明せよ、と言われて、「$n$ を大きくすると平均に近づくから」と書いたら0点やった

前提のおさらい
チェビシェフの不等式：$P(|X-\mu |\ge \epsilon )\le V[X]/{\epsilon }^2$
確率収束：どんな $\epsilon >0$ でも $P(|X_n-c|>\epsilon )\to 0$

＞＞1
主張から書く
$X_1,\dots ,X_n$ が独立に同じ分布に従い、$E[X_i]=\mu$、$V[X_i]={\sigma }^2<\infty$ のとき、${\bar{X}}_n$ は $\mu$ に確率収束する

＞＞3
証明は3行
(1) $E[{\bar{X}}_n]=\mu$
(2) 独立なので共分散が0で、$V[{\bar{X}}_n]=\frac{1}{n^2}\sum V[X_i]=\frac{{\sigma }^2}{n}$
(3) チェビシェフより、任意の $\epsilon >0$ で

＞＞4
(2) で独立を使ってるけど、ほんまに要るのは何？

＞＞5
共分散が0、つまり無相関で足りる。分散の和の公式で消えてほしいのは共分散の項だけやから
答案では「独立なので無相関」と書いておけば、どこで使ったかが伝わる

数字で。表の確率0.5のコインなら ${\sigma }^2=0.25$、$\epsilon =0.05$ で
上限は $\frac{0.25}{n\times 0.0025}=\frac{100}{n}$。$n=1000$ なら $0.1$、$n=10000$ なら $0.01$

＞＞7
$n=1000$ の実際の値は、二項分布で $P(S\le 450)+P(S\ge 550)$ を計算すると約 $0.0017$
上限の0.1よりずっと小さい

＞＞8
それなら、必要な $n$ をチェビシェフで決めるのは無駄が大きいやろ

＞＞9
大きめに出るのは確か。でも分布を何も仮定してないから、どんな分布でも保証がつく
上限を0.1以下にしたいなら $\frac{0.25}{n\times 0.0025}\le 0.1$ で $n\ge 1000$。分布がわかってて近似を使えるなら、もっと小さい $n$ で済む

＞＞3
分散が無限大なら成り立たないん？

＞＞11
独立同分布なら平均が有限なだけで成り立つ（ヒンチンの大数の法則）。ただその証明はチェビシェフ1回では済まない
平均がないと成り立たない。コーシー分布は標本平均がまた同じコーシー分布で、$n$ を増やしても散らばりが縮まない

サイコロでもやっておく。${\sigma }^2=35/12\approx 2.917$、$n=600$、$\epsilon =0.2$ なら
$P(|\bar{X}-3.5|\ge 0.2)\le \frac{2.917}{600\times 0.04}\approx 0.122$

仮定を書く、平均と分散を出す、チェビシェフ、$n\to \infty$。この4つを順に書けば答案になるな