【疑問】大数の法則と中心極限定理、どっちも「nを大きくすると」で区別がつかん【統計検定1級】

大数の法則も中心極限定理も「$n$ を大きくすると標本平均が〜」って話やん
何が違うんや

設定のおさらい
$X_1,\dots ,X_n$ が独立に、平均 $\mu$、分散 ${\sigma }^2$ の同じ分布に従うとして

期待値は $\mu$、分散は ${\sigma }^2/n$

大数の法則（弱法則）は、どんな $\epsilon >0$ についても

標本平均は $\mu$ に確率収束する、ということ

中心極限定理は

（分布収束）
平均を引いて標準偏差で割る標準化をすると、分布が標準正規分布に近づく

＞＞4
大数の法則は「どこに行き着くか」、中心極限定理は「その周りでどれくらい、どんな形で揺れるか」
ずれ ${\bar{X}}_n-\mu$ そのものは0に行くけど、$\sqrt{n}$ 倍して見ると正規分布の形が残る

大数の法則の証明って難しいん？

＞＞6
分散が有限なら、チェビシェフの不等式で一発

$Y={\bar{X}}_n$ を入れると

＞＞7
チェビシェフの不等式自体はどう出すん

＞＞8
マルコフの不等式から。非負の $Z$ と $a>0$ について

$Z\ge a{1}_{\{Z\ge a\}}$ の両辺の期待値をとるだけで出る
$Z=(Y-E[Y]{)}^2$、$a={\epsilon }^2$ とおけばチェビシェフになる

チェビシェフで確率の近似もできるんか

＞＞10
できるけど粗い
コインを100回投げて表の回数を $X$ とすると、平均50、分散25

正確に計算すると約0.057

＞＞11
中心極限定理で近似するとどうなる

＞＞12
片側の $P(X\ge 60)$ で見ると、標準偏差は5やから

0.5ずらしてるのは連続修正。正確な二項確率は約0.0284で、かなり近い

＞＞13
連続修正なしやと $P(Z\ge 2)\approx 0.0228$ やから、けっこう差が出るな

中心極限定理があるんやから、データも $n$ が大きければ正規分布になるんやろ

＞＞15
ならん。正規分布に近づくのは標本平均（や和）の分布
元のデータが指数分布なら、何個集めてもデータのヒストグラムは指数分布の形のまま

条件はいつでも満たされるん？

＞＞17
コーシー分布は平均も分散も存在せんから、どっちの定理も使えん
独立なコーシー分布の標本平均は、何個平均しても元と同じコーシー分布のまま

＞＞18
でも大数の法則って、平均さえ有限なら成り立つって聞いたで
＞＞7は分散が有限なのを使ってるやん

＞＞19
それはどっちも正しい。チェビシェフを使う証明が、分散の有限性を借りてるだけ
独立同分布なら、平均が有限であれば弱法則も強法則も成り立つ（ヒンチンの弱法則、コルモゴロフの強法則）
中心極限定理のほうは、分散が有限であることが要る

＞＞20
証明で置いた仮定と、定理そのものの仮定は別物ってことか。そこ混ぜてたわ

母比率の信頼区間で $\hat{p}\pm 1.96\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$ を使うのも中心極限定理やな

＞＞22
そう。ただ分母の $p$ を $\hat{p}$ に置きかえてるから、大数の法則で $\hat{p}\to p$ になることと、スルツキーの定理も裏で使ってる