【疑問】コーシー分布って左右対称の山やのに、なんで平均がないん？【統計検定準1級】

25レスカテゴリ：統計・確率

1: 名無しさん

コーシー分布は「平均が存在しない分布」って聞いた
でもグラフ見たら0を中心にした左右対称の山やん。真ん中の0が平均ちゃうの

2: 名無しさん

＞＞1
標準コーシー分布の密度はこれ

f (x) = \frac{1}{π ( 1 + x ^{2} )}

0を中心に左右対称で、中央値（真ん中の値）は0。そこまではその通り。ただ平均（期待値）は定義できない

3: 名無しさん

＞＞2
左右対称なら、プラス側とマイナス側が打ち消しあって0になるやろ

4: 名無しさん

＞＞3
打ち消す前に、片側だけで無限大になる

\int_{0}^{R} \frac{x}{π ( 1 + x ^{2} )} d x = \frac{lo g ( 1 + R ^{2} )}{2 π}

$R = 100$ で約1.47、 $R = 1 0^{4}$ で約2.93。ゆっくりやけど際限なく増える
プラス側が $+ \infty$ 、マイナス側が $- \infty$ で、 $\infty - \infty$ は決まらない

5: 名無しさん

＞＞4
でも積分の範囲を $- R$ から $R$ にそろえれば、毎回ちょうど0になるやん
それで $R$ を大きくしたら0でええんちゃうの

6: 名無しさん

＞＞5
それは範囲の取り方を自分で決めてるだけ。 $- R$ から $2 R$ にとると

\int_{- R}^{2 R} \frac{x}{π ( 1 + x ^{2} )} d x = \frac{1}{2 π} lo g \frac{1 + 4 R ^{2}}{1 + R ^{2}} \to \frac{lo g 2}{π} \approx 0.22

取り方で答えが変わる。期待値は取り方によらず1つに決まる必要があるから、 $E [∣ X ∣]$ が無限大の分布では平均は存在しないと扱う

7: 名無しさん

裾（両端）はどれくらい厚いん

8: 名無しさん

＞＞7
分布関数が $F (x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{π} arctan x$ やから

P (∣ X ∣ > 3) = 1 - \frac{2}{π} arctan 3 \approx 0.205

標準正規分布なら約0.0027。 $∣ X ∣ > 10$ でもコーシーは約0.063残るけど、正規分布やとほぼ0

9: 名無しさん

そんな極端な分布、どこで出てくるん

10: 名無しさん

＞＞9
独立な標準正規分布 $Z_{1}, Z_{2}$ の比 $Z_{1} / Z_{2}$ が標準コーシー分布になる
分母がたまたま0に近いと、比がとんでもなく大きくなる。裾が厚いのはこのせい
自由度1のt分布も、標準コーシー分布と同じもの

11: 名無しさん

＞＞10
角度から作る話もあるやろ

12: 名無しさん

＞＞11
ある。角度 $θ$ が $- π /2$ から $π /2$ の一様分布のとき、 $X = tan θ$ が標準コーシー分布
直線から距離1の位置にある灯台が、でたらめな向きに光を出して、直線上に当たる位置が $X$ 、というたとえ
$∣ X ∣ < 1$ は $∣ θ ∣ < π /4$ と同じやから、確率はちょうど $1/2$

13: 名無しさん

データが100個あって、平均を取ったらどうなる

14: 名無しさん

＞＞13
独立な標準コーシー分布の標本平均は、何個とっても標準コーシー分布のまま
特性関数（ $E [e^{i tX}]$ 、どんな分布でも存在する）が $e^{- ∣ t ∣}$ で、 $n$ 個の平均の特性関数は

(e^{- ∣ t ∣/ n})^{n} = e^{- ∣ t ∣}

100個平均しても、 $∣ \overset{ˉ}{X} ∣ > 3$ の確率は1個のときと同じ約0.205

15: 名無しさん

＞＞14
それ、大数の法則に反してないか

16: 名無しさん

＞＞15
反してない。大数の法則は平均が存在すること（ $E [∣ X ∣] < \infty$ ）が前提
前提が満たされてないから、そもそも当てはまらない

17: 名無しさん

＞＞16
でもぴったりコーシー分布のデータなんて、現実にはそうないやろ。試験のための話ちゃうの

18: 名無しさん

＞＞17
ぴったりでなくても、たまにとんでもない外れ値が出るデータでは同じことが起きる
比の形の量（分母が0近くになりうるもの）が典型。データを増やしても平均が落ち着かないなら、まず裾の厚さを疑う、って教訓は現実でも使える

19: 名無しさん

＞＞18
じゃあ真ん中の位置を推定したいときはどうするん

20: 名無しさん

＞＞19
標本中央値を使う。位置が $μ$ のコーシー分布で、 $n$ が大きいとき中央値の分散は約

\frac{π ^{2}}{4 n}

$n = 100$ なら標準偏差 $π /20 \approx 0.157$ 。平均と違って、データを増やせばちゃんと縮む

21: 名無しさん

＞＞20
中央値より最尤推定のほうがええやろ
コーシー分布の位置の最尤推定量は、 $n$ が大きいとき分散が約 $2/ n$ 。 $n = 100$ なら標準偏差約0.141で、中央値の0.157より小さい

22: 名無しさん

＞＞21
小さいのは確かやけど、最尤推定は式で解けなくて数値計算が要るし、尤度の山が複数できて変な解に行くこともある
中央値の効率は $(2/ n) \div (π^{2} /4 n) = 8/ π^{2} \approx 0.81$ で約8割。手で出せてこの効率なら、実用では中央値で十分な場面が多い

23: 名無しさん

ばらつきのほうは？分散もないんやろ

24: 名無しさん

＞＞23
分散もない。代わりに四分位点（下から25%と75%の点）を使う
位置 $μ$ 、尺度 $γ$ のコーシー分布は

f (x) = \frac{γ}{π { γ ^{2} + ( x - μ ) ^{2} }}

四分位点がちょうど $μ - γ$ と $μ + γ$ 。 $μ = 0$ 、 $γ = 2$ なら $- 2$ と $2$ で、その幅は $2 γ = 4$

25: 名無しさん

見た目は普通の山でも、片側の積分が発散するから平均はない。何個平均しても縮まんから、位置は中央値、広がりは四分位点で測る。これで納得した

管理人のひとこと

標準コーシー分布の密度は $1/ {π (1 + x^{2})}$ 。左右対称で中央値は0だが、 $E [∣ X ∣] = \infty$ なので平均（期待値）は存在しない（積分範囲の取り方で答えが変わる）。
裾が厚い： $P (∣ X ∣ > 3) \approx 0.205$ （標準正規は約0.0027）。独立な標準正規の比、自由度1のt分布、一様な角度の $tan$ として出てくる。
標本平均は何個とっても元と同じ標準コーシー分布（特性関数 $e^{- ∣ t ∣}$ ）。大数の法則は平均の存在が前提なので当てはまらない。
位置は標本中央値で推定できる（分散は約 $π^{2} /4 n$ 、 $n = 100$ で標準偏差約0.157）。最尤推定は約 $2/ n$ で少し良いが数値計算が必要。広がりは四分位点 $μ \pm γ$ で測る。

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