【疑問】ガンマ分布2つから X/(X+Y) を作るとベータ分布になる、って変数変換でどう示すん【統計検定1級】

$X\sim Ga(a,1)$、$Y\sim Ga(b,1)$ が独立のとき、$X/(X+Y)$ がベータ分布になることを示せ
ヤコビアンまでは出したけど、そこから先で止まった

前提のおさらいを2つ
ガンマ分布 $Ga(a,\lambda )$ の密度は $\frac{{\lambda }^a}{\Gamma (a)}{x}^{a-1}{e}^{-\lambda x}$ で、同じ率なら足すと形状が足し算になる
2変数の変数変換は、補助変数を置いてヤコビアンをかけ、範囲を書いてから補助変数を消す

＞＞1
$T=X/(X+Y)$、$S=X+Y$ と置くと、$x=ts$、$y=(1-t)s$、$|J|=s$
同時密度は $\frac{1}{\Gamma (a)\Gamma (b)}(ts{)}^{a-1}((1-t)s{)}^{b-1}{e}^{-s}\cdot s$ で、まとめると

＞＞3
$s$ について積分すると ${\int }_0^{\infty }{s}^{a+b-1}{e}^{-s}ds=\Gamma (a+b)$ やから

これがベータ分布 $Be(a,b)$

＞＞4
ついでに $B(a,b)=\Gamma (a)\Gamma (b)/\Gamma (a+b)$ も出てくる。密度の積分が1になることから

＞＞3
同時密度が $t$ だけの関数と $s$ だけの関数の積で、範囲も長方形やから、$T$ と $S$ は独立
$S$ は $Ga(a+b,1)$。割合と合計が独立になる

数字で。$a=2,b=3$ なら密度は $12t(1-t{)}^2$
平均 $a/(a+b)=0.4$、分散 $\frac{ab}{(a+b{)}^2(a+b+1)}=\frac{6}{25\times 6}=0.04$
$P(T\le 0.5)=12{\left[\frac{t^2}{2}-\frac{2t^3}{3}+\frac{t^4}{4}\right]}_0^{0.5}=0.6875$

率が1じゃなくて $\lambda$ でも同じ？

＞＞8
同じ率なら同じ結果。$X$ と $Y$ を両方 $\lambda$ 倍しても比は変わらないから
率が違うとベータにはならない

＞＞4
$a=b=1$ なら指数分布2つで、$T\sim U(0,1)$。一様分布 $n$ 個の $k$ 番目の順序統計量が $Be(k,n-k+1)$ になるのとも話が合う

＞＞4
ベータ分布って、ベイズの事前分布のための便利な形やと思ってたわ

＞＞11
それも使い道の1つやけど、こうやって「合計に占める割合」として自然に出てくる分布でもある
待ち時間の比、順序統計量、カイ二乗どうしの比と、出どころは何通りもある

補助変数に合計 $S$ を選ぶと、ヤコビアンが $s$ になって $s$ の積分がガンマ関数になる。この置き方を覚えておけば迷わんな