【疑問】期待値は足し算できるのに、分散はなんでそのまま足せないん？【統計検定1級】

22レスカテゴリ：統計・確率

1: 名無しさん

期待値は $E [X + Y] = E [X] + E [Y]$ でええのに
分散を $V (X + Y) = V (X) + V (Y)$ って書いたらバツくらった
どこが違うんや

2: 名無しさん

前提のおさらいからいこか
期待値は線形で、定数 $a, b$ に対して

E [a X + b] = a E [X] + b

E [X + Y] = E [X] + E [Y]

これは $X$ と $Y$ が独立かどうかに関係なく成り立つ

3: 名無しさん

＞＞2
独立じゃなくてもええんか
てっきり独立が要ると思ってた

4: 名無しさん

＞＞3
要らん。和（積分）の線形性そのものやから
独立が効いてくるのは積のほう

E [X Y] = E [X] E [Y]

こっちは共分散が0のときしか成り立たん

5: 名無しさん

分散の定義は

V (X) = E [(X - E [X])^{2}]

展開すると

V (X) = E [X^{2}] - (E [X])^{2}

計算はだいたい下の形でやる

6: 名無しさん

サイコロ1個でやってみると

E [X] = \frac{1 + 2 + \dots + 6}{6} = \frac{7}{2}

E [X^{2}] = \frac{1 + 4 + \dots + 36}{6} = \frac{91}{6}

V (X) = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12}

7: 名無しさん

定数倍はどうなるん
$2 X$ の分散は $2 V (X)$ ちゃうの

8: 名無しさん

＞＞7
ちゃう。2乗で効く

V (a X + b) = a^{2} V (X)

$b$ は分布を平行移動するだけやから、ばらつきは変わらん

9: 名無しさん

＞＞8
$a = - 1$ で考えたら覚えやすい
$V (- X)$ が $- V (X)$ になったら分散が負になってまう。 $a^{2} = 1$ やから $V (- X) = V (X)$

10: 名無しさん

で、本題の和

V (X + Y) = V (X) + V (Y) + 2 Cov (X, Y)

共分散は

Cov (X, Y) = E [X Y] - E [X] E [Y]

この項を落とすとバツになる

11: 名無しさん

＞＞10
その $2 Cov$ はどっから出てくるん

12: 名無しさん

＞＞11
$X + Y$ から平均を引いて2乗するだけ

{(X - E [X]) + (Y - E [Y])}^{2}

を展開すると交差項が2倍で出てくる。その期待値が $2 Cov (X, Y)$

13: 名無しさん

独立なら共分散は0やから、そのまま足してええってことか

14: 名無しさん

＞＞13
そう。独立なサイコロ2個の和なら

V (X + Y) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}

15: 名無しさん

差の分散は $V (X) - V (Y)$ やろ？

16: 名無しさん

＞＞15
それもよくある間違い

V (X - Y) = V (X) + V (Y) - 2 Cov (X, Y)

$- Y$ の分散は $(- 1)^{2} V (Y) = V (Y)$ やからな
独立なら差をとっても分散は足し算になる

17: 名無しさん

逆に、共分散が0なら独立って言ってええん？

18: 名無しさん

＞＞17
あかん
$X$ が $- 1, 0, 1$ を等確率でとって、 $Y = X^{2}$ とすると

Cov (X, Y) = E [X^{3}] - E [X] E [X^{2}] = 0 - 0 \cdot \frac{2}{3} = 0

でも $Y$ は $X$ で完全に決まってる

19: 名無しさん

＞＞18
共分散が0（無相関）は「直線的な関係がない」だけで、独立よりずっと弱い条件ってことか

20: 名無しさん

これ、標本平均の分散にもつながるよな

21: 名無しさん

＞＞20
$X_{1}, \dots, X_{n}$ が独立に、平均 $μ$ 、分散 $σ^{2}$ の同じ分布に従うなら

V (\overset{ˉ}{X}) = V (\frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}) = \frac{1}{n ^{2}} \cdot n σ^{2} = \frac{σ ^{2}}{n}

定数倍の2乗と、独立な和の分散を両方使ってる

22: 名無しさん

＞＞21
独立じゃなくて正の相関があったら、共分散の分だけ $σ^{2} / n$ より大きくなるわけやな
似たようなデータばかり集めても平均の精度は上がりにくい、って話につながる

管理人のひとこと

期待値の線形性 $E [a X + b] = a E [X] + b$ 、 $E [X + Y] = E [X] + E [Y]$ は、独立でなくても成り立つ。
分散は $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ 。定数倍は2乗で効き、平行移動は効かない。
$V (X \pm Y) = V (X) + V (Y) \pm 2 Cov (X, Y)$ 。独立（無相関）なら差でも分散は足し算になる。
共分散が0でも独立とは限らない。独立で同じ分布なら $V (\overset{ˉ}{X}) = σ^{2} / n$ 。

【疑問】期待値は足し算できるのに、分散はなんでそのまま足せないん？【統計検定1級】

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