【疑問】一致性・漸近正規性・デルタ法を1問で通しで書けって言われた。ポアソンの P(X=0) でやってみたい【統計検定1級】

$X_1,\dots ,X_n$ が独立に $Po(\lambda )$。$\theta =P(X=0)=e^{-\lambda }$ の推定量を作り、一致性・漸近分布・近似の信頼区間まで答えよ、って問題

前提のおさらいを2つ
デルタ法：$\sqrt{n}(\hat{\lambda }-\lambda )\to N(0,v)$ なら $\sqrt{n}(g(\hat{\lambda })-g(\lambda ))\to N(0,g^{\prime }(\lambda {)}^{2}v)$
ワルド型の区間：推定値 $\pm 1.96\times$ 標準誤差。標準誤差はフィッシャー情報量から作る

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(1) 推定量。対数尤度 $\ell =\sum x_i\log \lambda -n\lambda +\text{定数}$ を微分して0とおくと $\hat{\lambda }=\bar{X}$。最尤推定量の不変性で $\hat{\theta }=e^{-\bar{X}}$

＞＞3
(2) 一致性。$E[\bar{X}]=\lambda$、$V[\bar{X}]=\lambda /n$ やから、チェビシェフの不等式で $P(|\bar{X}-\lambda |\ge ϵ)\le \lambda /(n{ϵ}^2)\to 0$
$e^{-x}$ は連続やから $e^{-\bar{X}}\to e^{-\lambda }$ も確率収束する

＞＞4
(3) 漸近正規性。中心極限定理で $\sqrt{n}(\bar{X}-\lambda )\to N(0,\lambda )$。フィッシャー情報量は $I(\lambda )=1/\lambda$ で、$1/I$ と一致
$g(\lambda )=e^{-\lambda }$、$g^{\prime }(\lambda )=-e^{-\lambda }$ でデルタ法

(4) 数字で。$n=100$、$\bar{x}=2$
$\hat{\theta }=e^{-2}\approx 0.135$、標準誤差 $\sqrt{2}\times 0.135/10\approx 0.019$
95%区間 $0.135\pm 1.96\times 0.019=(0.098,0.173)$

＞＞6
ほんまに合ってるか、$\lambda =2$、$n=100$ で2万回作ってみた。$e^{-\bar{X}}$ の標準偏差は約0.0194、平均は約0.137（真の値0.135）
標準誤差はほぼ合ってる。平均が少し上にずれてるのは、$e^{-x}$ が下に凸やから

＞＞7
偏りがあるなら、そもそも $e^{-\bar{X}}$ は推定量としてあかんのちゃうの

＞＞8
偏りは $1/n$ の大きさで、標準誤差（$1/\sqrt{n}$ の大きさ）よりずっと速く消える。一致性も漸近正規性もそのまま成り立つ
不偏にしたいなら $(1-1/n{)}^{\sum X_i}$ という推定量があって、この例では $0.99^{200}\approx 0.134$。値はほとんど変わらん

＞＞1
0の出た割合 ${\hat{p}}_0$ でも $\theta$ は推定できるやろ。そっちのほうが分布を仮定せんで済む

＞＞10
できる。分散は $\theta (1-\theta )/n$ で標準誤差は約0.034。$e^{-\bar{X}}$ の0.019より大きい
漸近相対効率は $\lambda e^{-2\lambda }/\{\theta (1-\theta )\}\approx 0.31$。ポアソンが正しければ $e^{-\bar{X}}$、分布に自信がなければ ${\hat{p}}_0$、という使い分けになる

最尤と不変性で $e^{-\bar{X}}$、チェビシェフと連続性で一致性、中心極限定理とデルタ法で $N(0,\lambda e^{-2\lambda }/n)$、数値で区間まで。これで1問通して書けるな