【疑問】偏りがあるのに一致推定量、ってどういうこと？不偏なのに一致しない例もあるん【統計検定1級】

不偏性と一致性の違いを例をつけて説明せよ、って問題
偏ってたら一致しないと思ってた

前提のおさらいを2つ
不偏性：すべての $\theta$ で $E[\hat{\theta }]=\theta$
大数の弱法則：分散が有限なら、チェビシェフの不等式で $\bar{X}$ が $\mu$ に確率収束する

＞＞1
一致性は確率収束

不偏性は1つの $n$ での平均の話、一致性は $n$ を増やしたときの話で、別の性質

＞＞3
確かめるには、偏りと分散が両方0に近づくことを示せば足りる

マルコフの不等式を2乗の誤差に使った

＞＞4
偏りがあるのに一致する例
$n$ で割る分散 ${\hat{\sigma }}^2$ は偏りが $-{\sigma }^2/n$ で、$n\to \infty$ で0。分散も0に近づくから一致
$U(0,\theta )$ の最大値も、偏り $-\theta /(n+1)$ と分散がどっちも0に近づく

＞＞5
最大値が $0.95\theta$ を下回る確率は $0.95^n$。$n=5$ で $0.774$、$n=100$ で $0.0059$

＞＞1
逆に、不偏なのに一致しない例
1個目の観測 $X_1$ をそのまま $\mu$ の推定量にすると、$E[X_1]=\mu$ で不偏
でも $n$ をいくら増やしても $X_1$ の分布は変わらないから、一致しない

＞＞7
そんな推定量使う人おらんやろ。例として不自然すぎる

＞＞8
自然な例ならコーシー分布の標本平均。平均がないから不偏性も言えないけど、$n$ を増やしても分布が縮まらず一致しない
中央値なら一致する。推定量の選び方しだいで一致性が決まる

一致推定量を関数に入れても一致するん？

＞＞10
$g$ が連続なら一致する。${\hat{\sigma }}^2\to {\sigma }^2$ なら $\sqrt{{\hat{\sigma }}^2}\to \sigma$
不偏性は $g$ に入れると崩れるけど、一致性は崩れない

＞＞11
一致性なんて $n\to \infty$ の話やから、手元の $n$ では何の保証にもならんやろ

＞＞12
手元の精度は分散や平均二乗誤差で見るしかない。一致性は「データを増やせば当たるようになる」という最低限の条件で、これがない推定量はそもそも候補から外す

不偏は期待値、一致は確率収束。偏りと分散が両方0に近づけば一致、と書いておけば例も示しやすいな