【疑問】最尤推定量とフィッシャー情報量から作る区間、母数の取り方で結果が変わるってほんま？【統計検定1級】

ピボットが見つからない分布でも、最尤推定量があれば信頼区間が作れるって聞いた
どうやるん

前提のおさらいを2つ
ピボット量が見つかれば、分位点で挟んで母数について解けば正確な区間になる
最尤推定量は正則条件のもとで漸近的に $N(\theta ,1/(nI(\theta )))$

＞＞1
漸近正規性の $\theta$ を $\hat{\theta }$ で置き換えて、近似のピボットとして使う（ワルド型）

$I(\hat{\theta })$ の代わりに観測情報量 $-{\ell }^{\prime \prime }(\hat{\theta })/n$ を使ってもいい

＞＞3
ポアソンなら $I=1/\lambda$ で、区間は $\hat{\lambda }\pm 1.96\sqrt{\hat{\lambda }/n}$
$n=40$、合計100なら $\hat{\lambda }=2.5$、標準誤差 $0.25$ で $(2.01,2.99)$
カイ二乗を使う正確な区間は $(2.03,3.04)$ で、ほぼ同じ

指数分布（率 $\lambda$）で比べる。$n=50$、$\bar{x}=0.5$ なら $\hat{\lambda }=2$、$I=1/{\lambda }^2$ で標準誤差 $\hat{\lambda }/\sqrt{n}\approx 0.283$
ワルド型：$2\pm 1.96\times 0.283$ で $(1.446,2.554)$
ピボット $2\lambda \sum X_i\sim {\chi }_{100}^2$ からの正確な区間：$(74.22/50,129.56/50)=(1.484,2.591)$

＞＞5
正確な区間は右に長いのに、ワルド型は左右対称。そこがずれる

＞＞6
母数を $\log \lambda$ に変えてからワルド型を作ると改善する
デルタ法で $\log \hat{\lambda }$ の標準誤差は $1/\sqrt{n}\approx 0.141$。$\log 2\pm 1.96\times 0.141$ を指数で戻すと $(1.516,2.639)$
$\log$ の目盛りで対称なぶん、元の目盛りでは右に長くなる

＞＞7
でも $(1.516,2.639)$ も正確な $(1.484,2.591)$ とは違うやん。かえって右にずれすぎてない？

＞＞8
この例では上限が行きすぎてる。どの目盛りでも完全には合わないけど、分布が対称に近くなる目盛りを選ぶと、区間の形は正確な区間に近づく
大事なのは、ワルド型が母数の取り方で変わるという点。$\lambda$ と $\log \lambda$ で別の区間が出る

＞＞9
取り方によらない区間がほしいなら、尤度比で作る区間がある。$2\{\ell (\hat{\theta })-\ell (\theta )\}\le 3.84$ を満たす $\theta$ を集める
尤度そのものは母数の取り方で値が変わらないから、どの目盛りでも同じ区間になる

$n$ が小さいときは、ワルド型の被覆確率が名目より低くなりやすい。比率の区間で起きたのと同じ

漸近正規性を近似のピボットにする、標準誤差は情報量から、目盛りによって形が変わる。この3つを押さえれば使えるな