【疑問】2つの推定量のどっちがええか、平均二乗誤差と相対効率でどう比べるん【統計検定1級】

$U(0,\theta )$ で $2\bar{X}$ と $\frac{n+1}{n}\max X_i$、どっちがいい推定量か比べよ
どっちも不偏やのに、何で比べるん

前提のおさらい。不偏推定量はすべての $\theta$ で $E[\hat{\theta }]=\theta$ になるもの
$\frac{n+1}{n}\max X_i$ は最大値の偏りを直したもので、$2\bar{X}$ はモーメント法から出る

＞＞1
平均二乗誤差（MSE）で比べる。分解すると

分散と偏りの2乗の和。不偏なら分散だけ

＞＞3
分解の途中は、$\hat{\theta }-\theta =(\hat{\theta }-E[\hat{\theta }])+(E[\hat{\theta }]-\theta )$ と分けて2乗すると、かけ算の項の期待値が0になる

＞＞3
例の2つの分散は
$V[2\bar{X}]=4\cdot \frac{{\theta }^2}{12n}=\frac{{\theta }^2}{3n}$
$V\left[\frac{n+1}{n}\max X_i\right]=\frac{{\theta }^2}{n(n+2)}$
$n=5$ なら $0.0667{\theta }^2$ と $0.0286{\theta }^2$

＞＞5
相対効率はMSEの比。$2\bar{X}$ の、もう一方に対する相対効率は

$n=5$ で $3/7\approx 0.43$。$2\bar{X}$ で同じ精度を出すには、2倍以上のデータが要る

偏りがあるほうが勝つ例もある？

＞＞7
正規分布の分散の推定で、偏差平方和を $n-1$、$n$、$n+1$ で割った3つを比べると
MSEは $\frac{2{\sigma }^4}{n-1}$、$\frac{(2n-1){\sigma }^4}{n^2}$、$\frac{2{\sigma }^4}{n+1}$
$n=10$ なら $0.222{\sigma }^4$、$0.190{\sigma }^4$、$0.182{\sigma }^4$。不偏な $n-1$ が一番大きい

＞＞8
ほな $n+1$ で割るのが正解ってこと？

＞＞9
MSEを基準にして、正規分布を仮定するならそう。でも基準を不偏性にすれば $n-1$、分布が変われば最適な割る数も変わる
どの基準で比べたかを書かないと、どっちがいいとは言えない

＞＞10
縮小推定もそう。正規の平均を $c\bar{X}$ で推定すると、MSEは $c^2{\sigma }^2/n+(1-c{)}^2{\mu }^2$
$\mu =1,{\sigma }^2/n=0.25$ なら最適な $c=0.8$ でMSE $0.2$、$\bar{X}$ そのままなら $0.25$
ただし最適な $c$ が $\mu$ によるから、そのままでは使えない

大きい $n$ では分散の比の極限で比べる（漸近相対効率）。正規分布なら標本中央値の、標本平均に対する効率は $2/\pi \approx 0.637$

MSEを分散と偏りに分ける、比をとって相対効率、どの基準と分布で比べたかを書く。これで比較の答案になるな